Stelling van Rouché

[Energyfellow]

Hey,

Ik snap de Stelling van Rouché niet zo goed.

De vraag was: indien oplosbaar, los dan het stelsel op.

Gegeven:

x + 5y - 8

3x - 2y = 10

5x + 3y = 4

x + y = 0

Hoe begin ik eraan?

Het internet noch mijn cursus konden veel duidelijkheid scheppen.

[Drieske]

Wat begrijp je niet aan die stelling? Je moet de rang van A|b en de rang van A vergelijken. Zijn die gelijk, is je stelsel oplosbaar. Is daarenboven rang(A|b) = rang(A) = n, dan is de oplossing uniek.

[Energyfellow]

Dries,

Tot daar ben ik nog mee maar stel nu: rang (A|b) = rang(A), hoe los ik dat dan op?

Moet ik zoals bij de methode van Gauss naar een benedendriehoek werken?

Of zoals bij de methode van Gauss-Jordan naar de canonieke gedaante werken?

Dank bij voorbaat,

Roger

[Drieske]

Begin al eens met het bepalen van rang(A)...

[Energyfellow]

Als ik me niet vergis kunnen we de rang vinden door naar onze hoofddeterminant te kijken.

A is een 4 * 2 matrix, we gaan dat dus moeten omzetten naar een vierkante matrix bijgevolg krijgen we een 2*2 matrix waarvan de determinant verschillend van 0 moet zijn, in dit geval:

\(\begin{pmatrix}

1 &5 \\

3 &-2

\end{pmatrix}\)

geeft ons (1 * (-2)) - (3 * 5) = -2 - 15 = -17.

Met andere woorden, de rang van A =

\(\begin{pmatrix}

1 &5\\

3 &-2\\

5 &3\\

1 &1

\end{pmatrix}\)

is gelijk aan 2.

[Drieske]

Klopt. Maar de rang bepalen kan eenvoudiger (door rijherleiden). Maar jouw methode werkt ook. Doe nu hetzelfde met rang(A|b).

[Energyfellow]

(A|b) =

\(
\begin{pmatrix}

1 &5 &8\\

3 &-2 &10\\

5 &3 &4\\

1 &1 &0

\end{pmatrix}
\)

, dit is een 4 * 3 matrix, dus hier zullen we ook een willekeurige rij moeten schrappen.

Stel we nemen:

\(
\begin{pmatrix}

1 &5 &8\\

3 &-2 &10\\

5 &3 &4

\end{pmatrix}
\)

, we gaan van deze matrix de determinant berekenen door middel van de regel van Sarrus.

Dat geeft ons -8 + 250 + 72 - (-80) - 30 - 60 = 304.

De determinant is verschillend van 0, dus de hoofddeterminant van (A|b) =

\(
\begin{vmatrix}

1 &5 &8\\

3 &-2 &10\\

5 &3 &4

\end{vmatrix}
\)

met rang 3.

[Drieske]

Dus wat kun je besluiten?

[Energyfellow]

De rang van A is verschillend dan die van (A|b) met andere woorden, B behoort niet tot de kolomruimte van A en is het stelsel A*X = B strijdig?

[Drieske]

Er is inderdaad geen oplossing voor het stelsel, op basis van Rouché.

[Energyfellow]

Dat was snel .

Stel nu dat we volgende matrix hebben

\(
\begin{pmatrix}

1 &5 &-8\\

3 &-2 &10\\

5 &3 &4\\

1 &1 &0

\end{pmatrix}
\)

, alles is hetzelfde als daarnet maar a13 dat 8 was is gewijzigd in -8.

Bijgevolg krijgen we geen niet nul determinant in de bijhorende 3*3 matrices want zowel

\(
\begin{pmatrix}

1 &5 &-8\\

3 &-2 &10\\

5 &3 &4\\

\end{pmatrix}\)

als

\(\begin{pmatrix}

3 &-2 &10\\

5 &3 &4\\

1 &1 &0

\end{pmatrix}\)

zal als determinant 0 uitkomen.

Stel we nemen als hoofddeterminant:

\(\begin{pmatrix}

1 &5 \\

3 &-2

\end{pmatrix}\)

, welke dus als determinant (1 * (-2)) - (3 * 5) = -17 uitkomt.

Conclusie: rang A = rang (A|b) = rang 2, dus B behoort wel tot de kolomruimte van A.

Wat is dan de volgende stap?

[Drieske]

Is de rang nu gelijk aan het aantal variabelen? Dus Rouché zegt je dat er ... oplossingen zijn.

[Energyfellow]

Als ik me niet vergis zou er één unieke oplossing zijn.

[Drieske]

Dat klopt . Stel dat je nu eens even alleen naar de eerste 2 vergelijkingen kijkt:

x + 5y = -8

3x - 2y = 10

Als er een oplossing is voor dit stelsel. Hoeveel oplossingen zijn er dan?

[Energyfellow]

Ik vermoed één oplossing voor x en één oplossing voor y.