Variantie van een continue toevalsveranderlijke

[raintjah]

Ik begrijp het volgende stukje theorie niet:

"We gebruiken dan voor een continue stochastische veranderlijke X met kansdichtheidsfunctie f en waardeverzameling [a,b]:

de variantie:

\(Var(X)=\sigma_x^2 = \int_a^b(x-\mu_x)^2 \cdot f(x)dx = \int_a^b x^2 \cdot f(x)dx-\mu_x^2\)

De overgang naar het laatste gelijkaanteken begrijp ik niet..

mvg

stijn

[dr. E. Noether]

Het is een kwestie van uitschrijven; het is niet een stap die je de eerste keer direct in 1 keer ziet. De notatie die je boek heeft gebruikt vind ik afschuwelijk, daarom heb ik het als onderstaand opgeschreven. Bij jouw is \( f = 0\) buiten het interval \( [a,b] \subset \rr \). Ik schrijf \( E[X] \) voor de verwachting van \( X \). De variantie \( Var(X) \) van de stochast \( X \) is gedefinieerd als

\(Var(X) := E[(X - E[X])^2] ,\)

zodat

\(Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E[X])^2 f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} (x^2-2xE[X]+(E[X])^2)f(x)dx =\)

\(= \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx - 2E[X]\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx + (E[X])^2\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = E[X^2] - 2(E[X])^2 + (E[X])^2 = E[X^2] - (E[X])^2.\)

Hierbij is dus gebruikt \( \mu_x = E[X] := \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx \) per definitie en er geldt ook dat \( E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx \) ten gevolge van een kleine stelling. Ook is gebruikt dat \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1 \) als kenmerk van de kansdichtheid.

N.B. Er zijn continue stochasten waarvoor de verwachting/variantie niet bestaat.