Vergelijking

[PeterPan]

Los op

\(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}\)

[thermo1945]

Eis 1: 2x-1≥ 0

Eis 2:

\(x-\sqrt{2x-1}\)

≥ 0

Dat is een goed uitgangspunt. Denk verder aan (herhaald) kwadrateren.

Controleren van gevonden oplossingen is hier dringend gewenst.

[kotje]

2 keren kwadrateren kom ik op 2x²-3x+1=0. Oplossen geeft 2 oplossingen 1,1/2. Na invullen schiet er 1 over namelijk 1.

[PeterPan]

Er zijn meer oplossingen!

[Drieske]

Werk je in

\(\mathbb{C}\)

of in

\(\mathbb{R}\)

?

[jhnbk]

Mij lijkt dit een leuke eerste stap:

\((\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}})( \sqrt{x+\sqrt{2x-1}} - \sqrt{x-\sqrt{2x-1}}) = \sqrt{2}(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} - \sqrt{x-\sqrt{2x-1}})\)

\(2\sqrt{2x-1}= \sqrt{2}(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} - \sqrt{x-\sqrt{2x-1}})\)

(1)

Nu kan je beide vergelijkingen ((1) en de opgave) optellen en valt er al één lastige wortel weg.

[PeterPan]

Werk je in

\(\mathbb{C}\)

of in

\(\mathbb{R}\)

?

\(\rr\)

[Morzon]

Los op

\(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}\)

\(p=\sqrt{2x-1}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}|1+p|+\frac{\sqrt{2}}{2}|p-1|=\sqrt{2}\)

...

[jhnbk]

Mijn methode werkt uiteraard niet (had ik aan moeten denken) aangezien alles wegvalt tot 0=0

[kotje]

2 keren kwadrateren kom ik op 2x²-3x+1=0. Oplossen geeft 2 oplossingen 1,1/2. Na invullen schiet er 1 over namelijk 1.

Even misrekent 1/2 is ook een oplossing.

[PeterPan]

Er zijn nog meer oplossingen!

[Drieske]

Met wat Morzon heeft gegeven kan je wel goed op weg denk ik, zo zie je "op het zicht' dat -1/3, 1/3, -2/3, 2/3, 1/6, -1/6, 5/6 en -5/6 oplossingen zijn... Klopt dit?

EDIT: dit zijn oplossingen voor p, niet voor x zie ik juist en er zijn er nog meer zie ik; bijv 1/4, 3/4... NJa, alsk meer tijd had telde ik wat

[Klintersaas]

Er zijn nog meer oplossingen!

Veel meer zo te zien. Om te beginnen voldoen alle

\(x \in \left[\frac12,1\right]\)

. Zijn er nog meer?

[jhnbk]

Correct. Nu nog aantonen natuurlijk.

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(0,4,0,4,300,300,600,600,'sqrt(x+sqrt(2*x-1))+sqrt(x-sqrt(2*x-1))')</script><!--graphend-->

[Klintersaas]

Correct. Nu nog aantonen natuurlijk.

Een poging, voortbouwend op het werk van Morzon:

\(\frac{\sqrt{2}}{2}|1+p|+\frac{\sqrt{2}}{2}|p-1|=\sqrt{2} \Leftrightarrow |1+p|+|p-1|=2\)

We onderscheiden de volgende gevallen:

• \(1+p > 0 \land p-1 > 0\)
  \(\Leftrightarrow p > -1\ \land \Leftrightarrow p > 1 \quad \Rightarrow p > 1\)
  \(\Rightarrow 1 + p + p - 1 = 2 \Leftrightarrow 2p = 2 \Leftrightarrow p = 1 \qquad \mbox{(contradictie)}\)
• \(1+p > 0 \land p-1 < 0\)
  \(\Leftrightarrow p > -1\ \land \Leftrightarrow p < 1 \quad \Rightarrow p \in ]-1,1[\)
  \(\Rightarrow 1 + p - p + 1 = 2 \Leftrightarrow 2 = 2\)
• \(1+p < 0 \land p-1 > 0\)
  \(\Leftrightarrow p < -1\ \land \Leftrightarrow p > 1 \quad \Rightarrow \mbox{contradictie}\)
• \(1+p < 0 \land p-1 < 0\)
  \(\Leftrightarrow p < -1\ \land \Leftrightarrow p < 1 \quad \Rightarrow p < -1\)
  \(\Rightarrow -1 - p - p + 1 = 2 \Leftrightarrow -2p = 2 \Leftrightarrow p = -1 \qquad \mbox{(contradictie)}\)

Hieruit volgt dus dat

\(p \in ]-1,1[\)

:

\(\sqrt{2x-1} > -1 \Rightarrow \mbox{steeds voldaan}\)

\(\sqrt{2x-1} < 1\)

Bestaansvoorwaarde:

\(2x-1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac12\)

\(\Rightarrow 2x-1 < 1 \Leftrightarrow x < 1\)

Conclusie:

\(V = \left]\frac12,1\right[\)

Het probleem met mijn oplossingsmethode is dat ik de grensgevallen 0,5 en 1 niet vind, terwijl dit wel oplossingen zijn. Waarschijnlijk zit de fout in het feit dat ik overal strikte ongelijkheden gebruik (< en >), terwijl het misschien ergens niet-strikte ongelijkheden mogen/moeten zijn.

Wat denken de grote wiskundige geesten van mijn poging? Ik ben tenslotte maar een simpel laatstejaarsstudentje secundair onderwijs...