Vergelijking grootte tumor oplossen

[_-_Suusje_-_]

Opgave 105

50 jaar geleden hebben A.K. Laird en medewerkers voor het eerst laten zien dat de groei van tumoren kan worden beschreven met de zogenaamde Gompertz functie. In feite zijn tumoren cellulaire populaties die in een beperkte ruimte groeien waar voedingsstoffen slecht beschikbaar zijn. Met X(t) als tumor grootte kan de Gompertz functie worden weergegeven als een soort tweetraps exponentiële functie (dat wil zeggen met weer een exponentiële functie in de exponent van een functie):



X(t)= K.e^((ln(X(0)/K)) . (e^-at))

Beetje onduidelijk maar ik hoop dat jullie het snappen

(zie ook het plaatje). Probeer uit deze formule te halen hoe groot de tumor op tijdstip nul is, en hoe groot hij maximaal kan worden (zie onderstaande tabel voor de wiskundige formulering van deze vragen; streef naar een zo eenvoudig mogelijk antwoord):

Ik krijg h et plaatje er niet in maar ik denk dat de belangrijkste informatie die erin staat is dat bij t=0 x(t)=1000 (dit is tevens zijn uiterlijke Y waarde)...

Sorry maar ik kom er niet uit aangezien ik teveel onbekende heb en er is naar mijn mening geen mogelijkheid om 2 formules te maken...

Ik hoop zo spoedig mogelijk wat reacties te lezen zodat ik verder kan puzzelen!

Suzanne

[Klintersaas]

X(t)= K.e^((ln(X(0)/K)) . (e^-at))

Beetje onduidelijk maar ik hoop dat jullie het snappen

Ik zal hem wat mooier voor je maken:

\(X(t) = K \exp \left(\log\left(\frac{X(0)}{K}\right)\exp(-\alpha t) \right)\)

Ik krijg h et plaatje er niet in maar ik denk dat de belangrijkste informatie die erin staat is dat bij t=0 x(t)=1000 (dit is tevens zijn uiterlijke Y waarde)...

Lees hier hoe je afbeeldingen in je bericht kunt plaatsen.

[Phyrus]

Ja ik ik snap er ook helemaal niks af.. Suus moet jij het ook vandaag inleveren?

[Phys]

Misschien dat ik de vraag verkeerd begrijp (1e vraag lijkt me triviaal), maar:

Probeer uit deze formule te halen hoe groot de tumor op tijdstip nul is

Vul eens t=0 in in de formule. Wat krijg je dan (niet verrassend) als X-waarde?

, en hoe groot hij maximaal kan worden

Oftewel het maximum van X(t) bepalen, hoe bepaal je het maximum van een functie?

[Phyrus]

Hier is het grafiek... misschien dat je daar wat aan hebt?

[Phys]

Als het de bedoeling is de informatie hieruit te halen, zie je toch direct dat X(t=0)

\(\approx\)

0 en max(X(t))=1000? Maar dat zal wel niet, want er staat "Probeer uit deze formule te halen".

Dus probeer mijn bovenstaande vragen eens te beantwoorden?

[Phyrus]

Vul eens t=0 in in de formule. Wat krijg je dan (niet verrassend) als X-waarde?

Uit grafiek blijkt dat bij t=0 is X=0. Maar voor een berekening heb je dan toch de waarde van K nodig? ALs ik weet hoe je K moet bereken dan kan ik de rest wel uitreken.

Oftewel het maximum van X(t) bepalen, hoe bepaal je het maximum van een functie?

Dat is toch afgeleide gelijkstellen aan 0?

[Klintersaas]

Uit grafiek blijkt dat bij t=0 is X=0. Maar voor een berekening heb je dan toch de waarde van K nodig? ALs ik weet hoe je K moet bereken dan kan ik de rest wel uitreken.

Misschien moet je het antwoord uitdrukken in K.

Dat is toch afgeleide gelijkstellen aan 0?

Inderdaad.

Verder ben ik ook wel benieuwd naar de tabel waarover in de openingspost gesproken werd:

(zie onderstaande tabel voor de wiskundige formulering van deze vragen; streef naar een zo eenvoudig mogelijk antwoord):

[Phyrus]

dit is het tabel... stelt volgens mij niet veel voor. je kan er niks uithalen. Daar moet je de antwoorden invullen, vandaar ook gele gedeelte.

Misschien moet je het antwoord uitdrukken in K

Lijkt mij toch niet een eenvoudig antwoord....?

[Timbala]

heey. ik ben nu ook met die opdracht bezig, snap er niet echt heel veel van.

het enige wat ik kan bedneken is dat de grootte 0 is en de limiet 1000..??

wat hebben jullie bij het laatste deel van vraag 103?

Groetjes!!

[dirkwb]

Deze opgave is veel makkelijker dan je denkt; lees Phys' post goed door.

[Phyrus]

ik denk gewoon dat X(0)= 0 en de maximale...

Deze opgave is veel makkelijker dan je denkt; lees Phys' post goed door.

Ik neem aan dat je de afgeleide van de formule bedoelt om de max te berekenen? Maar dan zit je toch nog steeds met de onbekende waarden???

[Klintersaas]

ik denk gewoon dat X(0)= 0

Dat klopt.

Wat betreft het maximum: je dient inderdaad gewoon

\(\lim_{t \to \infty} X(t)\)

te nemen. Verder helpt het ook als je weet wat alle symbolen voorstellen. Weet je bijvoorbeeld waar K voor staat?

[Phyrus]

K is het maximale dat bereikt kan worden ...Er moet nu volgens mij een lichtje gaan brande.... Betekent het dan dat K wordt bedoeld voor de vraag voor maximale waarde? Dus dan hoef je niks uit te rekenen maar je moet gelijk uitgaan van K?

[Phys]

Lezen is een kunst, en vragen beantwoorden ook. Daarom:

Maar voor een berekening heb je dan toch de waarde van K nodig? ALs ik weet hoe je K moet bereken dan kan ik de rest wel uitreken.

Nee, die heb je niet nodig (al had je hem nodig, kon je het antwoord uitdrukken in K). Vul t=0 in en laat eens zien op welk antwoord je komt! Dus laat je berekening eens zien, zodat we kunnen aangeven waar het misgaat.

Dat klopt.

Nee, dat lijk je af te kunnen lezen uit de grafiek. Zoals al een aantal keer gezegd, moet je het uit de formule halen:

Probeer uit deze formule te halen hoe groot de tumor op tijdstip nul is

Wat betreft het maximum: je dient inderdaad gewoon

\(\lim_{t \to \infty} X(t)\)

Dus dan hoef je niks uit te rekenen maar je moet gelijk uitgaan van K?

Beseffen wat de symbolen betekenen kan helpen voor je inzicht, zo kun je beoordelen of je antwoord zinvol lijkt. Dus als je het maximum van X(t) berekent en er komt iets heel anders dan K uit, gaat er vermoedelijk ergens iets mis. Er is maar één manier om erachter te komen: reken het maximum van X(t) uit!