Volume ellipsoïde

[TerrorTale]

dag iedereen

Opgave:

Bereken de inhoud van een ellipsoïde met halve assen a, b en c door gebruik te maken van de formule voor het volume van een lichaam met gekende vlakke doorsnede.

Wat wordt de formule in het geval van een omwentelingsellipsoïde? (controleer door herberekening van de inhoud met de formule voor inhoud van omwentelingslichaam).

Oplossing: 4*Pi*abc/3

Dit moet ik dus (denk ik) berekenen:

\(V = \int A(z)*dz\)

met A(z)= x*y*Pi

wat ik nog weet:

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1

ik kan echter geen onderling verband vinden waarmee ik de integraal kan oplossen.. kan iemand me helpen aub?

alvast bedankt!

[bessie]

Ik ken twee oplossingsmogelijkheden, en daarbij hoort niet jouw 'formule voor het volume van een lichaam met gekende vlakke doorsnede'. Dat komt omdat ik uit NL kom, de formulering lijkt mij vlaams, of niet?

Om de inhoud van de ellipsoide te berekenen neem ik een bol, met volume 4/3 pi r^3. Door de afbeelding van cirkel naar ellips te gebruiken vervang ik r in x-richting door a, in y-richting door b, en in z-richting door c. Hiermee wordt de formule zoals je in het antwoord vermeldt.

De andere formule is

\(\int \int \int dz dy dx\)

De integratiegrenzen moet je bepalen uit het verband x²/a²+y²/b²+z²/c²=1. Ik weet echter niet meer precies hoe dat gaat, zal de stof nakijken en dan praten we verder (tenzij iemand anders het al weet).

Kun je hiermee verder?

[Westy]

Ik zal je zo dadelijk wat op weg zetten, maar hier is alreeds een schema om de 'gedachten wat te vestigen':

ellipsoide 1685 keer bekeken

[Westy]

Het volume van de ellipsoide is inderdaad

\( 8 \int_0^c A(z) dz \)

met A(z) de oppervlakte van het blauwe schijfje in mijn tekening

(8 x omdat er 8 kwadranten zijn, en ik alles in 1 kwadrant bereken, maar dat kan natuurlijk ook anders...)

Die oppervlakte van dat blauwe schijfje is inderdaad

\(\frac{1}{4}\pi x_z y_z\)

(1/4 omdat het hier over een kwart ellips gaat, alweer)

Kan je nu die

\(x_z\)

en die

\(y_z\)

uitdrukken in functie van z, want dat is onze integratievariabele?

tip

Verborgen inhoud

je kan dit doen adh van de formules van de ellipsen in het xz vlak en het yz vlak, in het rood in mijn tekening

Lukt dat?

[TerrorTale]

oke bedankt, ik heb het gevonden

ik snap alleen niet echt waarom je de formule in het rood op je tekening vervormd naar de vorm die er staat? ^^

het stomme is dat ik die formules al op men papier had staan maar niet wist hoe ik ze moest gebruiken, volgende keer tekening maken zoals die van jou ](*,) .

@ bessie: ja dit is vlaanderen

als je met die bol bedoeld dat ik r 'gewoon' moet vervangen door a,b,c dan denk ik dat ik zal buizen ^^.

met tripelintegralen lukt het me wel maar dat is niet de bedoeling van de oefening .

[Westy]

ik snap alleen niet echt waarom je de formule in het rood op je tekening vervormd naar de vorm die er staat? ^^

De 3 formules in het rood zijn de vergelijkingen van de 3 ellipsen in het xy-, het xz- en het yz-vlak.

Ik had evengoed kunnen schrijven

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

ipv

\(b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\)

, dat maakt eigenlijk geen verschil. Ik werk gewoon liever met die laatste formule omdat het sneller werkt als ik daaruit bvb x of y moet halen...

Beantwoordt dit je vraag?

Ps misschien toch even kort enkele tussenstappen posten voor evt andere geinteresseerden?

[TerrorTale]

1)

\(x= a*\sqrt{1-z²/c²}\)

\(y= b*\sqrt{1-z²/c²}\)

2)

A(z) =1/4 * Pi*x*y

\(8*\pi/4*\int x*y dz\)

je vult (1) in, in (2).

3) alle constanten voor de integraal zetten

dan blijft er in je integraal het volgende nog staan:

1-z²/c²

de integraal uitwerken en grenzen (0..c) invullen

2*Pi*a*b*[z-z^3/(3*c²)] = 4*Pi*abc/3

[Westy]

Lijkt me allemaal in orde.

Bedankt om even de tijd te nemen om de uitwerking te posten.

Succes verder nog.

[TD]

Terzijde:

Om de inhoud van de ellipsoide te berekenen neem ik een bol, met volume 4/3 pi r^3. Door de afbeelding van cirkel naar ellips te gebruiken vervang ik r in x-richting door a, in y-richting door b, en in z-richting door c. Hiermee wordt de formule zoals je in het antwoord vermeldt.

Dit kan je, in deze vorm althans, bezwaarlijk een bewijs noemen... Welke 'afbeelding' bijvoorbeeld?

[bessie]

Ik ga niet teveel rekenen, maar ik substitueer x'=x/a en y'=y/b in de vergelijking x'^2+y'^=1 van de eenheidscirkel. Vergelijking wordt x^2/a^2+y^2/b^2=1. Dat is de ellips uit de opgave. Omdat de substitutie een vermenigvuldiging inhoudt tov de x-as met factor b en tov de y-as met factor a, is het oppervlak van de ellips pi.a.b geworden ipv de pi van de eenheidscirkel. Analoog gaat voor 3-d geval met bol x^2+y^2+z^2=1, nu behalve bovenstaande substituties ook z'=z/c substitueren. Of maak ik een fout?

[TD]

Of maak ik een fout?

Ik bedoelde niet dat het niet 'kan' via een transformatie; maar wat je schreef was veel te dunnetjes om als bewijs(schets) voor dat volume door te gaan. Om te beginnen stond er nog geen afbeelding en dan is het misschien nog niet triviaal hoe het volume verandert onder zo'n coördinatentransformatie. Zonder duiding kan ik in elk geval begrijpen dat TerrorTale vermoedt dat hij met dat schetsje geen punten zou krijgen .

[bessie]

Je vroeg welke afbeelding, en die gaf ik. Een vermenigvuldiging is een afbeelding, ook in de vlakke meetkunde.

En dat 'buizen' betekent dat je een onvoldoende krijgt, was mij ten enen male onbekend zunne!

[TD]

Ik weet natuurlijk welke afbeelding jij bedoelde, ik merkte ook enkel op dat het me mager leek als bewijs. Als ik TerrorTale goed begreep, was dat waarschijnlijk een juiste inschatting...