Wereldlijnen in de SRT en in de ART

[Regor]

Kan men de wereldlijn van een object in een xyz ruimte en onderhevig aan wissende versnellingen visueel voorstellen ?
Men vind veel informatie oven Minkowski met ruimte coordinaat "x" en tijdscoordinaat "ct"
Maar hoe ziet dat er uit in een xyz space ?

Wikipedia schrijft:
"De wereldlijn van een object wordt in de algemene relativiteitstheorie met een tensor beschreven. Daarbij kan een wereldlijn zichzelf niet snijden. Gesloten tijdachtige krommen zijn onmogelijk."

Wie schept er duidelijkheid ?

[vijv]

Om een wereldlijn te tekenen heb je altijd de tijdscoördinaat nodig. Vandaar dat we meestal maar wereldlijnen zien met x en ct. Dit is immers wat we op een vlak kunnen tekenen. Wereldlijnen met x,y en ct kunnen we nog in 3D visualiseren.
Maar voor een wereldlijn in x,y , z en ct voor te stellen is ons brein niet uitgerust.

Net zoals een pad in een vlakke ruimte beschreven wordt met een parametervergelijking (vb een rechte x=at+b, y = ct + d met t de parameter), wordt een wereldlijn in een gekromde ruimte ook beschreven met een parametervergelijking. . Waar a,b,c en d in de vlakke ruimte scalairen (enkelvoudige getallen) zijn gebruiken we bij gekromde ruimtes tensoren. de parameter blijft in beide gevallen een enkelvoudig getal.

[Regor]

@vijv,

Dank U,

Lijkt mij al een begin van een nog duidelijker antwoord.
Gezien de coordinaten "x" en " ct" in een vlak zijn is de werkelijke wereldlijn / pad-lengte van een object in de ruimte toch niet visueel grafisch te zien in het Minkowski diagram ! ......... of zie ik het verkeerd.
Ben (weer) maar een beginner, die veel vergeten is van vroeger.
Hoe ziet men een versnelling in een x / ct diagram ?

[vijv]

versnelling in x, CT diagram is de parameter curve

ct = t
x = at²+bt +c

Het is om didactische redenen dat er in x, ct wordt gewerkt. Uitbreiden naar y en z is gewoon meer van hetzelfde maar dan met meer rekenwerk.

[wnvl1]

versnelling in x, CT diagram is de parameter curve

ct = t
x = at²+bt +c

Het is om didactische redenen dat er in x, ct wordt gewerkt. Uitbreiden naar y en z is gewoon meer van hetzelfde maar dan met meer rekenwerk.

Je hebt het hier over een constante coördinatenversnelling. Bij een constante eigenversnelling is het echter een ander verhaal: dat leidt automatisch tot de wereldlijn van Rindler, met een hyperbolische vorm in het x,ct-diagram.

[Regor]

Omdat het nu eenmaal ook in deze topic past.

@w,vl1

Een eigen antwoord op mijn vraag aan U.?
Als de wereldlijn een lengte of een tijd is......
1. Na wat reflectie lijkt een wereldlijn noch een lengte, noch een tijd ..... maar een pad met een bepaalde scalaire waarde als grootte.
in de vier - dimensionale ruimte tijd ....... klopt dat ?
2. Bij de tweelingen paradox is diegene met de langste wereldlijn het minst verouderd ... klopt dat ?

[wnvl1]

1. klopt En de 'lengte' van dat pad noemen we de eigentijd.
2. Nee. Langste wereldlijn, is het pad met de grootste lengte, dus de meeste eigentijd, dus het meest verouderd. Dat is dus de persoon die is blijven stilstaan. Deze persooon heeft het minst gereisd in de ruimte, maar het meest in de tijd.

[Regor]

@wnvl1,

Uw antwoord op het punt 2. wilt er bij mij niet in !

[wnvl1]

Je denkt te veel aan de definitie van lengte in de ruimte. In de ruimtetijd is de lengte anders gedefinieerd.

[Regor]

@wnvl1,

Wat ik denk kan U niet weten.... grapje.
In de SRT, bij de tweelingen paradox is de achterblijvende ( relatief stilstaande ) toch diegene die het meest verouderd is ten opzichte van die die op reis was.

Maar als dat verkeerd denken is, is de wereldlijn volgens U langer bij de stilstaande.
Zal er tussendoor een tijdje moeten mee bezig zijn om het in te zien en aan te nemen ......maar ik twijfel niet aan uw kennis hoor.

[wnvl1]

In de SRT, bij de tweelingen paradox is de achterblijvende ( relatief stilstaande ) toch diegene die het meest verouderd is ten opzichte van die die op reis was.

ja

Maar als dat verkeerd denken is, is de wereldlijn volgens U langer bij de stilstaande.

ja, lengte van de wereldlijn is synoniem met eigentijd

[flappelap]

versnelling in x, CT diagram is de parameter curve

ct = t
x = at²+bt +c

Het is om didactische redenen dat er in x, ct wordt gewerkt. Uitbreiden naar y en z is gewoon meer van hetzelfde maar dan met meer rekenwerk.

Deze parametrisatie is niet-relativistisch. Dit beschrijft niet een constante versnelling in coördinatentijd (die uitdrukking bevat c en een wortelteken). Zie vgl.31 van de bijlage in het volgende bericht.

[flappelap]

Wat een aardige oefening is (zie bijlage voor de parametrisatie, ook Misner, Thorne, Wheeler hst 6, ex.6.1), is om te berekenen hoe lang een waarnemer onderweg is naar het midden van de melkweg (30.000 lichtjaar) als-ie de eerste helft van de reis met slechts 1g eigenversnelling versnelt, en de tweede helft weer met 1g vertraagt. Het nogal tegenintuitieve antwoord is ca. 20 jaar, wat je eenvoudig kunt krijgen door x(tau) te inverteren (en in relativistische eenheden: te gebruiken dat 1g ongeveer 1 lichtjaar per (jaar)^2 is.)

[wnvl1]

Dus naar Mars gaan mag geen probleem zijn...

--------------
We beschouwen een waarnemer die naar het centrum van de Melkweg reist, op een afstand van \(30000\) lichtjaar. De waarnemer versnelt tijdens de eerste helft van de reis met een constante eigenversnelling van \(1g\) en vertraagt tijdens de tweede helft met dezelfde grootte van eigenversnelling.

In relativistische eenheden kunnen we \(c=1\) nemen en geldt dat \(1g\) ongeveer gelijk is aan \(1\) lichtjaar per jaar\(^2\). De totale afstand is \(L = 30000\) lichtjaar, zodat de versnelfase een afstand van \(L/2 = 15000\) lichtjaar beslaat.

Voor beweging met constante eigenversnelling \(a\) kan de wereldlijn van de reiziger worden geschreven als een functie van de eigentijd \( \tau \). De positie als functie van de eigentijd is

\[
x(\tau) = \frac{1}{a}\bigl(\cosh(a\tau)-1\bigr),
\]

en de coördinatentijd in het ruststelsel van de Melkweg is

\[
t(\tau) = \frac{1}{a}\sinh(a\tau).
\]

Omdat de versnelling \(a = 1\) is in deze eenheden, vereenvoudigt de uitdrukking voor de positie tot

\[
x(\tau) = \cosh(\tau) - 1.
\]

Halverwege de reis moet de positie gelijk zijn aan \(15000\) lichtjaar. Dit geeft de vergelijking

\[
15000 = \cosh(\tau) - 1.
\]

Hieruit volgt

\[
\cosh(\tau) = 15001.
\]

De eigentijd tot het midden van de reis is dus

\[
\tau = \operatorname{arcosh}(15001).
\]

Met de identiteit

\[
\operatorname{arcosh}(x) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)
\]

vinden we

\[
\tau = \ln\!\left(15001 + \sqrt{15001^2-1}\right).
\]

Omdat \(15001\) zeer groot is, kan men dit goed benaderen door

\[
\tau \approx \ln(2 \cdot 15001).
\]

Dit geeft numeriek

\[
\tau \approx 10.3 \text{ jaar}.
\]

Dit is de eigentijd voor de eerste helft van de reis. Omdat de tweede helft symmetrisch verloopt met een even grote maar tegengestelde eigenversnelling, is de totale eigentijd van de reiziger

\[
\tau_{\text{tot}} = 2\tau \approx 20.6 \text{ jaar}.
\]

De conclusie is dus dat een astronaut die met \(1g\) versnelt gedurende de eerste helft van de reis en met \(1g\) vertraagt gedurende de tweede helft, het centrum van de Melkweg op een afstand van \(30000\) lichtjaar kan bereiken in ongeveer \(20\) jaar eigentijd. Dit resultaat is tegenintuïtief, maar volgt uit het feit dat de snelheid gedurende de reis zeer dicht bij de lichtsnelheid komt, waardoor de tijdsdilatatie zeer groot wordt.

[HansH]

Dus naar Mars gaan mag geen probleem zijn...

Niet als je met 1g kunt blijven versnellen inderdaad. Wat is de langste tijd dat je met onze beste raket technologie 1g kunt realiseren?
Is toch wel binnen een kwartiertje of zo afgelopen schat ik. Maar dat is een ander topic.

en verder ljkt het me ook wel vervelend als je na 20 jaar in je eigen tijd erachter komt dat de wereld inmiddels geen mensen meer bevat omdat die het niet hebben kunnen overleven al die tijd vanaf dat de wereld energievoorraad op raakte en de mens zichzelf heeft opgeheven met inzet van iets ter veel nucleaire middelen door slechte wereldleiders. dus ik zou daar gelijk maar blijven. scheelt ook weer brandstof voor de terugweg.