[wiskunde] Exponentiele formule opstellen

[mrbako]

Hallo allemaal.
 
Ik ben sinds een paar weken weer bezig om mijn wiskunde opnieuw op te pakken na jaren er niets meer aan gedaan te hebben. Nu ben ik op internet leuke weetjes aan het opzoeken en deze proberen op te lossen.
 
Ik kwam het volgende probleem tegen.
Jan wilt graag met de bus naar school toe. Hij kan kiezen om een dagkaart te kopen die elke dag €1 kost of een voordeelkaart aanschaffen die €10 eenmalig plus elke keer een dagkaart + 5% korting van de vorige prijs. Volgens de opdracht is Jan dan na 24 dagen reizen goedkoper af.
 
Nu heb ik voor optie Dagkaart een simpele lineaire functie bedacht: 1X (duuh niet zo moeilijk)
Maar na al die tijd geen wiskunde meer gedaan te hebben en mijn vele pogingen kwam ik er niet uit. Wat ik had bedacht was 10+(1*0,95^X), maar helaas is het niet de goede manier dus. 
 
Ik weet dat er iets keer op keer (de korting van de vorige keer bij deze opdracht) altijd met een exponentiële functie moest worden opgelost. 
 
Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen..
 
ps. Dit is mijn eerste post, mocht er op- of aanmerkingen zijn dan hoor ik het graag.

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Dit onderwerp past beter in het huiswerkforum en is daarom verplaatst.

[Drieske]

Je hebt gelijk dat na X dagen je kaartje 0.95^X kost, maar je vergeet iets anders. Stel je even voor dat je je afvraagt hoeveel het je voor 2 dagen zou kosten. De eerste dag betaal je 1 euro (naast de 10 voor het voordeelkaartje), de tweede dag 0.95 euro, dus in totaal betaal je 10 + ...?

[tempelier]

Het gaat niet over iets dat continu is maar het is discreet.
 
Mij lijkt dus de aangewezen weg via rijen en reeksen.
 
De betalingen vormen een meetkundige rij,
als je daar vertrouwd mee bent wil ik hem wel op die manier voor je oplossen.

[mrbako]

Je hebt gelijk dat na X dagen je kaartje 0.95^X kost, maar je vergeet iets anders. Stel je even voor dat je je afvraagt hoeveel het je voor 2 dagen zou kosten. De eerste dag betaal je 1 euro (naast de 10 voor het voordeelkaartje), de tweede dag 0.95 euro, dus in totaal betaal je 10 + ...?

 
Oke ik heb dus dit bedacht:
voor dag 0 geldt de beginprijs van €10.
voor dag 1 geldt 10+1*0,95 = €10,95.
voor dag 2 geldt 10,95+(1*0,95)*0,95  = €11,85
voor dag 3 geldt 11,85 + (1*0,95*0,95)*0,95 = €12,71
 
Klopt het een beetje?

[Drieske]

Ja, in het algemeen heb je dus 10 + (1 + 0.95 + 0.95² + 0.95³ + ... + 0.95ⁿ) met n het aantal dagen. Zoals Tempelier al opmerkte, kan je die som bepalen m.b.v. de "meetkundige rij". Een meetkundige rij is waar je bij een bepaalde beginwaarde a steeds eenzelfde getal r vermenigvuldigt. In jouw geval is de beginwaarde a=1 en vermenigvuldig je met r=0.95. Nu is er een formule voor de som van de getallen uit zo'n meetkundige rij. Die zegt:

\(a + a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 + \ldots + a \cdot r^n = a \frac{1 - r^n}{1-r}\)

of in jouw geval is de som dus...?

[mrbako]

Ja, in het algemeen heb je dus 10 + (1 + 0.95 + 0.95² + 0.95³ + ... + 0.95ⁿ) met n het aantal dagen. Zoals Tempelier al opmerkte, kan je die som bepalen m.b.v. de "meetkundige rij". Een meetkundige rij is waar je bij een bepaalde beginwaarde a steeds eenzelfde getal r vermenigvuldigt. In jouw geval is de beginwaarde a=1 en vermenigvuldig je met r=0.95. Nu is er een formule voor de som van de getallen uit zo'n meetkundige rij. Die zegt:

\(a + a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 + \ldots + a \cdot r^n = a \frac{1 - r^n}{1-r}\)

of in jouw geval is de som dus...?

 

\(10 + (1 \frac{1 - 0,95^n}{1-0,95})\)

is denk ik mijn formule dan. 
Maar wat dan als mijn prijs veranderd van 1 naar a=1,50 krijg ik dan de volgende formule:  

\(10 + (1,50 \frac{1,50 - 0,95^n}{1,50-0,95})\)

?

[Drieske]

Neen, enkel de "a" vooraan de formule verandert (in mijn algemene formule staat ook maar 1 a ), dus:

\(1,50 \frac{1 - 0.95^n}{1 - 0.95}\)

Je eerste formule is wel correct . Je kan nu zelf eens n=24 invullen.

[mrbako]

Neen, enkel de "a" vooraan de formule verandert (in mijn algemene formule staat ook maar 1 a ), dus:

\(1,50 \frac{1 - 0.95^n}{1 - 0.95}\)

Je eerste formule is wel correct . Je kan nu zelf eens n=24 invullen.

 
Eindelijk is het kwartje gevallen. Ik kan heb  inderdaad door hoe het werkt. 
Mijn dank is groot.