a. Klopt dit?
b. Is zoiets al bekend?
Hier mijn verhaal:
We beschouwen lichtbuiging bij het passeren van de zon semiklassiek aan de hand van geretardeerde gravitatie. Zie onderstaande schets:
Lichtdeeltjes (tegenwoordig fotonen genaamd) hebben een onbekende rustmassa, men neemt aan dat die nul of in ieder geval heel klein is. Voor onze semiklassieke afleiding veronderstellen we dat lichtdeeltjes een minieme massa van m (dus niet nul) hebben en zich met de lichtsnelheid c (of bij benadering met de snelheid c) voortbewegen. De exacte waarde van m is irrelevant want die valt uit de eindformule toch weer weg. Van heel grote afstand bekeken ziet de interactie van de lichtdeeltjes met de zon eruit als een simpele botsing in een (nagenoeg vlakke) ruimtetijd. Als eindresultaat heb je opnieuw twee lichtdeeltjes die in een veranderde richting bewegen en de zon die een "neerwaartse" snelheid heeft gekregen. Het is onaannemelijk dat er bij dit proces gravitatiegolven met een aanmerkelijke impuls worden opgewekt. Daarom gaan we ervan uit dat klassiek impulsbehoud weliswaar niet instantaan maar wel voor de botsing als geheel geldig blijft.
Aangezien de lichtdeeltjes zeer snel bewegen en de zon veel zwaarder dan de lichtdeeltjes is zal de zon gedurende het passeren van de lichtdeeltjes nauwelijks van haar plaats komen. Bovendien is de afbuiging van de lichtdeeltjes zelf zeer gering. We kunnen de krachtstoot die de zon als gevolg van het passeren van de lichtdeeltjes ondergaat daarom bij benadering berekenen door te veronderstellen dat de zon zich in een xy-stelsel op de positie (0,d) bevindt (met d het perihelium) en de twee lichtdeeltjes in tegengestelde richting met de lichtsnelheid c over de x-as bewegen. Dat geeft onderstaande (benaderde) situatie:
\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m}}{ x_1^2(t) + \mathrm{d}^2} \cdot \cos(\alpha) \)
\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m}}{ x_1^2(t) + \mathrm{d}^2} \cdot \frac{ \mathrm{d} }{ \sqrt{ x_1^2(t) + \mathrm{d}^2 }} \)
\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ (x_1^2(t) + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)
\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ (\mathrm{c}^2 t^2 + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)
\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ (\mathrm{c}^2 t^2 + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)
Noem nu t de echte tijd en t' de geretardeerde tijd. We gaan ervan uit dat de gravitatie-werking zich met een snelheid c voortplant. Dus zal de gravitatie-werking die op een tijdstip t' van de lichtdeeltjes uitgaat de zon steeds pas op een later tijdstip \( t = t' + \Delta t \) bereiken. De daarbij te overbruggen afstand is volgens de tweede (als benadering gebruikte) tekening \( \sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} \). Zodat:
\( \mathrm{c} \Delta t = \sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} \)
\( \Delta t = \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \)
Bijgevolg krijgen we:
\( t = t' + \Delta t \)
\( t' = t - \Delta t \)
\( t' = t - \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \)
De gravitatie-werking die op een tijdstip t' van de lichtdeeltjes uitgaat bereikt de zon steeds pas op een later tijdstip t. Anders gezegd: de zon ondervindt op ieder tijdstip t dus steeds de gravitatie-werking die zij bij een instantane gravitatie al bij op het eerdere tijdstip t' zou hebben ondervonden. Om daar rekening mee houden moeten we in de formule voor de door de zon ondervonden gravitatie-werking bij instantane gravitatie \( F_i(t) \) dus \( t \) vervangen door \( t' = t - \Delta t \). Nog even ter controle: Wat is het effect van het vervangen van t door t' in de formule voor \( F_i(t) \)? Laten we het eens uitproberen en het resultaat even Q(t) noemen:
\( \mathrm{Q}(t) = F_i (t') \)
\( \mathrm{Q}(t) = F_i \left (t - \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \right ) \)
Dus Q(t) is een kracht die \( F_i \) met een vertraging van \( \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \) volgt, en dat is precies wat we hebben moeten. Dus gaat \( F_i(t) \) bij het vervangen van t door t' inderdaad in \( F_r(t) \) over.
Middels die substitutie zullen we hieronder via de nodige algebraïsche ingrepen een formule voor de geretardeerde gravitatie \( F_r(t) \) afleiden.
Maar dus eerst nog wat algebraïsche tovenarij
:\( t' = t - \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } \)
\( \frac{\sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} }{ \mathrm{c} } = t - t' \)
\( \sqrt{ \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2} = \mathrm{c} t - \mathrm{c} t' \)
\( \mathrm{c}^2 (t')^2 + \mathrm{d}^2 = \mathrm{c}^2 t^2 - 2 \mathrm{c} t \mathrm{c} t' + \mathrm{c}^2 (t')^2 \)
\( \mathrm{d}^2 = \mathrm{c}^2 t^2 - 2 \mathrm{c} t \mathrm{c} t' \)
\( 2 \mathrm{c} t \mathrm{c} t' = \mathrm{c}^2 t^2 - \mathrm{d}^2 \)
\( \mathrm{c} t' = \frac{\mathrm{c}^2 t^2 - \mathrm{d}^2}{ 2 \mathrm{c} t } \)
Voer nu voor het gemak de nieuwe dimensieloze variabelen \( \tau = \frac{ \mathrm{c} t }{ \mathrm{d} } \) en \( \tau' = \frac{ \mathrm{c} t' }{ \mathrm{d} } \) in. (Waardoor het vervangen van t door t' neer komt op het vervangen van \( \tau = \frac{ \mathrm{c} t }{ \mathrm{d} } \) door \( \tau' = \frac{ \mathrm{c} t' }{ \mathrm{d} } \).) Dan hebben we:
\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ (\mathrm{c}^2 t^2 + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)
\( F_i(t) = 2 \mathrm{G} \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ ( \tau^2 \mathrm{d}^2 + \mathrm{d}^2)^{1,5}} \)
\( F_i(t) = \frac{2 \mathrm{G}}{ \mathrm{d}^3 } \cdot \frac{ \mathrm{M} \mathrm{m} \mathrm{d}}{ ( \tau^2 + 1)^{1,5}} \)
\( F_i(t) = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{d}^2 } \cdot \frac{1}{ ( \tau^2 + 1)^{1,5}} \)
\( \mathrm{c} t' = \frac{\mathrm{c}^2 t^2 - \mathrm{d}^2}{ 2 \mathrm{c} t } \)
\( \tau' \mathrm{d} = \frac{\tau^2 \mathrm{d}^2 - \mathrm{d}^2}{ 2 \tau \mathrm{d} } \)
\( \tau' = \frac{\tau^2 - 1}{ 2 \tau } \)
\( (\tau')^2 = \frac{\tau^4 - 2 \tau^2 + 1}{ 4 \tau^2 } \)
\( (\tau')^2 + 1 = \frac{\tau^4 - 2 \tau^2 + 1 + 4 \tau^2}{ 4 \tau^2 } \)
\( (\tau')^2 + 1 = \frac{\tau^4 + 2 \tau^2 + 1 }{ 4 \tau^2 } \)
\( (\tau')^2 + 1 = \frac{(\tau^2 + 1)^2 }{ 4 \tau^2 } \)
\( (\tau')^2 + 1 = \left ( \frac{\tau^2 + 1 }{ 2 \tau} \right )^2\)
\( ((\tau')^2 + 1)^{1,5} = \left | \frac{\tau^2 + 1 }{ 2 \tau} \right |^3\)
\( \frac{1}{((\tau')^2 + 1)^{1,5}} = \left | \frac{ 2 \tau }{ \tau^2 + 1 } \right |^3\)
En dan komt er nu (via het vervangen van \( \tau \) door \( \tau' \)) voor de geretardeerde kracht \( F_r(t) \) op de zon:
\( F_r(t) = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{d}^2 } \cdot \left | \frac{ 2 \tau }{\tau^2 + 1} \right |^3 \)
De totale krachtstoot J op de zon wordt dan:
\( \mathrm{J} = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} F_r(t) \, dt \)
\( \mathrm{J} = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \left ( \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{d}^2 } \cdot \left | \frac{ 2 \tau }{\tau^2 + 1} \right |^3 \right ) \, d(\frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{c}}) \)
\( \mathrm{J} = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \left ( \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \cdot \left | \frac{ 2 \tau }{\tau^2 + 1} \right |^3 \right ) \, d \tau \)
\( \mathrm{J} = \frac{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \cdot \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \left | \frac{ 2 \tau }{\tau^2 + 1} \right |^3 \, d \tau \)
\( \mathrm{J} = \frac{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \cdot 4 \)
\( \mathrm{J} = \frac{ 8 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \)
Ik ga ervan uit dat er over het hele traject gerekend geen aanmerkelijke impuls wordt weg gestraald. Dat is een gebruikelijke aanname binnen de klassieke mechanica. En ook relativistische gezien is het onaannemelijk dat het passeren door twee fotonen van de zon gravitatiegolven van enige betekenis zou opwekken die aanmerkelijke impuls zouden kunnen wegvoeren. De veronderstelling van impulsbehoud tussen de begin- en de eindtoestand van de lichtbuiging (dus niet momentaan) lijkt mij dan ook legitiem. Als we er derhalve van uitgaan dat de weg gestraalde impuls verwaarloosbaar is vinden we voor de afbuiging \( \phi \) van de twee lichtdeeltjes wegens impulsbehoud tussen de begin- en eindtoestand dat:
\( 2 \cdot \mathrm{m} \mathrm{c} \sin(\phi) = \mathrm{J} \)
\( 2 \cdot \mathrm{m} \mathrm{c} \sin(\phi) = \frac{ 8 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} }{ \mathrm{c} \mathrm{d} } \)
\( \sin(\phi) = \frac{ 4 \mathrm{G} \mathrm{M} }{ \mathrm{c}^2 \mathrm{d} } \)
Voor het berekenen van de juiste afbuiging van licht dat langs de zon scheert heb je de relativiteitstheorie dus niet nodig, de extra factor 2 van de relativistische waarde voor de afbuiging vind je ook door simpelweg rekening te houden met de retardatie van een klassieke gravitatie-werking.
