Rekenpartij - hulp gevraagd!

[Professor Puntje]

Bron: https://www.mathpages.com/rr/s6-06/6-06.htm

Kan iemand ter controle van het geciteerde artikel met een computerprogramma (of met de hand) narekenen wat (dx)² + (dy)² + (dz)² in termen van θ, φ en r oplevert.

[flappelap]

Dat is een standaard resultaat:

https://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

[Professor Puntje]

Bedoel je formule (96)?

[EvilBro]

\(x = r \sin(\theta) \cos(\phi)\)

\(y = r \sin(\theta) \sin(\phi)\)

\(z = r \cos(\theta)\)

Via product-regel:

\(dx = dr \sin(\theta) \cos(\phi) + r \cos(\theta) d\theta \cos(\phi) - r \sin(\theta) \sin(\phi) d\phi\)

\(dy = dr \sin(\theta) \sin(\phi) + r \cos(\theta) d\theta \sin(\phi) + r \sin(\theta) \cos(\phi) d\phi\)

\(dz = dr \cos(\theta) - r \sin(\theta) d\theta\)

Kwadrateer de termen:

\(dx^2 = \sin^2(\theta) \cos^2(\phi) dr^2 + r^2 \cos^2(\theta) \cos^2(\phi) d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \sin^2(\phi) d\phi^2\)

\( + 2 r \sin(\theta) \cos(\theta) \cos^2(\phi) dr d\theta - 2 r \sin^2(\theta) \sin(\phi) \cos(\phi) dr d\phi - 2 r^2 \sin(\theta)\cos(\theta) \sin(\phi) \cos(\phi) d\theta d\phi\)

\(dy^2 = \sin^2(\theta) \sin^2(\phi) dr^2 + r^2 \cos^2(\theta) \sin^2(\phi) d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \cos^2(\phi) d\phi^2\)

\(+ 2 r \sin(\theta) \cos(\theta) \sin^2(\phi) dr d\theta + 2 r \sin^2(\theta) \sin(\phi) \cos(\phi) dr d\phi + 2 r^2 \sin(\theta) \cos(\theta) \sin(\phi) \cos(\phi) d\theta d\phi\)

\(dz^2 = \cos^2(\theta) dr^2 + r^2 \sin^2(\theta) d\theta^2 - 2 r \sin(\theta) \cos(\theta) dr d\theta\)

Als je deze gekwadrateerde termen optelt, zie je dat een hoop termen al meteen wegvallen. Met wat gonio wordt het dan:

\(dx^2 + dy^2 + dz^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) d\phi^2\)

[flappelap]

Formules (10) t/m (12). Het resultaat dat je aanhaalt klopt; het drukt uit dat de ruimte vlak is bij de ruimtetijd foliatie die bij deze coördinaten horen.

[Professor Puntje]

Hartelijk dank!

Zo kan ik weer verder.