4 Kleuren probleem

[Regor]

Na over het 4 kleurenprobleem al heel wat gelezen te hebben, en proberen te begrijpen, toch enkele vragen, eerst in verband met netwerken.

1. Waarom probeerde men meestal het probleem op te lossen met "grafen" ..... als verbindingslijnen tussen het midden (niet noodzakelijk)
van de "vlakken" ?...... en niet volgens een formule voor vlakke netwerken ?
2.Referende naar de foto........ waar ik voor de uniformiteit gebruik maak van de benamingen Punten "P", Lijnen"L" en Vlakken "V", (anders
dan bij de formules van Euler.)
Zie foto bij nr 1 ........... de formule van Euler voor vlakke veelhoeken. P + V - L = 1
Zie foto bij nr 2 ...........de formule voor ruimtelijke veelvlakken. P + V - L = 2
Zie foto bij nr 3 ........ ..een empirische formulevoor vlakke netwerken. (P + V - L = 1)
3. Is de empirisch gevonden formule juist ?
4. Bestaat die in de wiskundige literatuur ? ....... en waar kan ik die vinden ?
5. Bestaat er een bewijs voor ?.... en waar kan ik die vinden ?

Naar ik meen speelt het geen rol dat de lijnen L recht zijn, ze kunnen een willekeurige vorm hebben, maar mogen natuurlijk geen andere lijnen snijden.......... anders komen er punten "P" en vlakken "V" bij.
......................................................................................................................................................................
Vooruit lopende naar mijn volgende post over de 4 kleuren stelling maak ik onderscheid tussen:
Punten op de omtrek "Po" en punten binnen de omtrek "Pb" ........ P = Po + Pb
Lijnen op de omtrek "Lo" en lijnen binnen de omtrek "Lb". ............ L = Lo + Lb
Vlakken grenzend aan de omtrek "Vo" en vlakken niet grenzend aan de omtrek "Vb" ...... V = Vo + Vb

Mijn vermoeden is dat via de waarden van Po en Pb en Lo en Lb en Vo en Vb bewezen kan worden dat 4 kleuren voldoende zijn voor
elk willekeurig vlak netwerk.

Verder neem ik (voorlopig)aan dat er geen kleur hoeft te zijn "buiten" de omtrek.
(De omtrek is dus de grens voor het 4 kleuren probleem.)

[Regor]

Even tussendoor.
Bij het doornemen van oude bestaande pogingen om het 4 kleuren probleem op te lossen zonder computer las ik dat er altijd rondom een
configuratie een ring mag toegevoegd worden ........ zonder dat er daardoor 5 kleuren nodig zijn.

Als ik de configuratie van Wickepedia bekijk en ik voeg een ring rondom toe .......... dan merk ik dat een 5 de kleur noodzakelijk is.
Ook als ik enkel op de rechterzijde van de configuratie bv. een halve cirkel toevoeg.

Maar toch zijn er maar 4 kleuren nodig volgens het computer bewijs, niet zomaar direct in te zien.
Een cyclische permutatie van de kleuren geeft geen oplossing.

1. Ik vraag mij af welke de oplossing is om bij toevoeging van een ring een oplossing met 4 kleuren te hebben.
2. Ik vraag mij ook af hoeveel oplossingen er mogelijk zijn bij een bepaalde configuratie met minimum aantal kleuren.
Afhankelijk van het aantal punten P en / of het aantal lijnen L en / of het aantal vlakken V en / of de veel-hoekigheid van de vlakken ?

Dank bij voorbaat voor stimulerende input.

[Regor]

Hierbij de configuratie uit Wickepdia

[Xilvo]

Als ik de configuratie van Wickepedia bekijk en ik voeg een ring rondom toe .......... dan merk ik dat een 5 de kleur noodzakelijk is.

Als ik om het plaatje uit Wikipedia een cirkel trek, dan kan ik dat gebied buiten het plaatje maar binnen de cirkel bijvoorbeeld groen kleuren.

De daaraan grenzende groene gebieden in het plaatje kan ik zonder probleem rood maken.

[HansH]

Als ik het goed begrijp dan is het ''probleem'' dus dat je niet in staat bent om een situatie te bedenken waarbij je gedwongen bent om 2 x dezelfde kleur aansluitend aan elkaar te moeten tekenen omdat de stelling blijkbaar is dat dat nooit hoeft? Dus als je die stelling wilt verwerpen dan is 1 voorbeeld genoeg, maar dat voorbeeld is dus blijkbaar niet te bedenken?

[HansH]

en deze dan? welke kleur kan ik aan zwart toekennen?

of begrijp ik het probleem misschien verkeerd?

[Xilvo]

en deze dan? welke kleur kan ik aan zwart toekennen?

Maak het blauwe vlak rood, dan kan zwart blauw worden.

[HansH]

maar dan heb je 2 rode vlakken die op een punt aan elkaar grenzen. blijkbaar gaat het dus over aangrenzende zijden en niet over aangrenzende punten.

[HansH]

En je kunt ook niet het raakpunt vervangen door een zijde zonder dat de andere kleuren elkaar ook niet meer raken. dus kun je van hieruit ook geen verboden situatie herdefinieren.

[Xilvo]

maar dan heb je 2 rode vlakken die op een punt aan elkaar grenzen. blijkbaar gaat het dus over aangrenzende zijden en niet over aangrenzende punten.

Twee landen gelden hierbij als aangrenzend als ze een stuk grens gemeen hebben, niet als ze slechts met een punt aan elkaar verbonden zijn.

[Wikipedia]

[HansH]

voor 4 kleuren tegen elkaar aan is het bewijs dus dat je nooit een situatie kunt maken waarbij alle 4 de kleuren overlappende zijden met elkaar hebben, dus kun je altijd 1 van die 4 vervangen door een van de andere 3 kleuren en kun je de 4e kleur dus hergebruiken er tegenaan of eromheen. Voor het algemene bewijs zou je die gedachte dus uit moeten kunnen breiden voor een onbeperkt aantal vakjes.

[HansH]

bij het opbouwen moet je volgens mij dus beginnen met zo min mogelijk kleuren 1,2,3,4 te gebruiken
dus bij 4 vakjes valt de oplossing met rood kruis dan af

als je dat weer gaat uitbreiden dan valt de afbelding met rode kruis dus weer af etc.

[HansH]

de structuur
1,2
2,4
hierboven kun je nog handiger kiezen als
1,2
2,1
dan gebruik je maar 2 kleuren ipv 3
dat heb je bv nodig als je er nog een laag omheen legt

Dus de vraag is hoe systematisch je dit proces kunt beschrijven. Maar blijkbaar is dat onmogelijk als het tot nu toe alleen met de computer lukt om steeds een uitweg t vinden maar niet een voorbeeld volgt wat niet kan.

[tempelier]

Er bestaat nog zo'n kleuren probleem, dat is hoeveel kleuren heb je nodig op een landkaart?
(moeten wel even wat afspraken gemaakt worden wat een gebied is en wat een grens is)

Dit probleem van vijf aangrenzende kleuren kan wel op een torus worden opgelost.

PS.
Er is een leuk verhaaltje aan verbonden.
Een Koning die zijn land verdeeld over vijf zonen en een ieder moet aan ieders gebied grenzen.
Een slimme raadsheer wist het onmogelijke mogelijk te maken.

[Regor]

Aan Tempelier, het landkaart probleem "is" het vierkleuren probleem.
De configuratie van een landkaart kan "gelijkwaardig" vervangen worden door een configuratie met Punten, "rechte" Lijnen tussen Punten (de grenzen op de landkaart, en Vlakken, de gebieden op de landkaart.
.............................................................................................................................................................................................................
Aan iedereen, Ik stel gewoon vast dat de methodes die men gedurende 125 jaar volgde mij zo gekunsteld lijken dat ik het niet meer mooi vind.
Enkel de invoer van graffen, waarbij men een vlak vervangt door een "kleur" punt vind ik boeiend......... de vraag is : is dat nodig ???
Er staat een heel mooi overzicht op internet over de verschillende stappen die men zette ......... om toch uiteindelijk bij de computer uit te komen.
(Maar ik, ben niet bedreven genoeg de link op,het forum te krijgen ....... toch zal ik later eens proberen).
.............................................................................................................................................................................................................
Ik stel vast (zonder tekening .... beroep doende op verbeelding :

1. Als men het aantal Lijnen naar een "Punt" telt kan het aantal enkel even of oneven zijn ......even leidt tot maar 2 kleuren nodig (rond het
punt)....... oneven leidt tot 3 kleuren nodig (rond het punt).
Dit geldt voor elk beschouwd "Punt" uit de configuratie.

2. Als men het aantal Lijnen naar een "Vlak" telt kan het aantal even of oneven zijn ......... even leidt tot 3 kleuren nodig .........oneven
leidt tot 4 kleuren nodig.
Hierbij telt het Vlak ook mee om in te kleuren...... bij even (ref hierboven) is het Vlak een (2 n) zijdig vlak, waarbij het kleinste het 4 zijdig
Vlak is bij oneven een (2n +1) zijdig vlak, waarbij het kleinste het driezijdig Vlak is.
Dit geldt voor elk beschouwd "Vlak" uit de configuratie.

Kan hiermee / hierop niet verder gebouwd worden ?