Twee pieken of toch maar één?

[Professor Puntje]

Op de site MathPages staat een afleiding van de lichtbuiging door de zon waarin de momentane afbuigingen twee pieken vertoont in plaats van slechts één op het dichts bij de zon gelegen punt van de lichtbaan. Zie: https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm

Dit lijkt vreemd omdat men de sterkste afbuiging slechts op het dichtst bij de zon gelegen punt zou verwachten en nergens anders. Anderzijds ken ik MathPages als een zeer betrouwbare bron, en worden intuïties door de moderne natuurkunde wel vaker gelogenstraft. Reden om deze zaak nog eens precies na te rekenen.

[Professor Puntje]

Voor de zon is het gravitatieveld relatief zwak wat met zich mee brengt dat we er vanuit mogen gaan dat het licht op het traject waarop het merkbare invloed van de zon ondervindt nauwelijks afwijkt van een rechte baan. Bovendien mogen we vanwege het relatief zwakke gravitatieveld in onze berekeningen de gebruikelijke euclidische meetkunde hanteren. Het licht scheert naar we aannemen op een afstand R langs de zon en blijft daarbij in een plat xy-vlak met de zon in de oorsprong. Voor de ondervonden gravitatie in het relevante deel van de lichtbaan geldt dan bij benadering y=R terwijl de x-coördinaat beschrijft waar de lichtdeeltjes zich op hun reis bevinden. Laat nu φ(x) de op het punt van de lichtbaan met x-coördinaat x reeds ondervonden cumulatieve afbuiging zijn. Dan hebben we φ(-∞)=0 en φ(∞) = Φ met Φ de totale afbuiging die het licht door het passeren van de zon ondergaat. Terwijl verder bij goede benadering geldt:

\( \Phi = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mbox{d} \varphi}{\mbox{d} x} \,\, \mbox{d} x \,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)

De coördinaten en hoeken zijn hierbij verondersteld te zijn zoals zij door een verre waarnemer zouden worden gemeten.

[Professor Puntje]

Voor de zon maken we gebruik van de Schwarzschild oplossing van Einsteins vergelijkingen:

Bron: https://hepweb.ucsd.edu/ph110b/110b_notes/node75.html

[HansH]

Op de site MathPages staat een afleiding van de lichtbuiging door de zon waarin de momentane afbuigingen twee pieken vertoont in plaats van slechts één op het dichts bij de zon gelegen punt van de lichtbaan. Zie: https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm

Dit lijkt vreemd omdat men de sterkste afbuiging slechts op het dichtst bij de zon gelegen punt zou verwachten en nergens anders. Anderzijds ken ik MathPages als een zeer betrouwbare bron, en worden intuïties door de moderne natuurkunde wel vaker gelogenstraft. Reden om deze zaak nog eens precies na te rekenen.

volgens mij hebben we oa hier al 24 pagina's eraan besteedt. viewtopic.php?p=1142396#p1142396
om te voorkomen dat we die discussie weer over gaan doen misschien goed om na te gaan of we daar een conclusie kunnen trekken wat er daar nog onduidelijk was.

[Professor Puntje]

Ik maak hier een frisse start en hoop zo tot een afleiding te komen waar geen speld meer tussen te krijgen is. Wanneer een topic 24 pagina's beslaat is dat een teken dat er daar ergens iets is misgegaan. Het lijkt mij beter om mijn energie nu te steken in mijn eigen wiskundige bewijsvoering om te achterhalen hoe het met die twee pieken gesteld is, dan na te pluizen wat er van het oude topic wel of niet klopt.

[Professor Puntje]

We bekijken een lichtstraal in het xy-vlak dus ds = 0 en:
θ = 90º
dθ = 0

Bovendien schrijven we de azimut hoek φ nu als α om verwarring met de afbuiging φ(x) te voorkomen. Dit geeft dan:

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 \mathrm{d}\alpha^2 \,\,\,\,\,\, (2) \)

[Professor Puntje]

Uit bovenstaande schetsje zien we dat:

\( \mathrm{d}x^2 = r^2 \mathrm{d} \alpha^2 + \mathrm{d} r^2 \,\,\,\,\,\, (3) \)

[HansH]

infi.png

Uit bovenstaande schetsje zien we dat:

\( \mathrm{d}x^2 = r^2 \mathrm{d} \alpha^2 + \mathrm{d} r^2 \,\,\,\,\,\, (3) \)

Ik zie dat nog niet zo direct. Welke tusssenstappen gebruik je?

[Professor Puntje]

Dat is de stelling van Pythagoras toegepast op een infinitesimaal driehoekje.

[Professor Puntje]

Combinatie van (2) en (3) geeft:

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + \mathrm{d}x^2 - \mathrm{d} r^2 \)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + \mathrm{d}x^2 - \frac{\mathrm{d} r^2 ( 1 - \frac{r_s}{r} )}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\frac{r_s}{r} \mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + \mathrm{d}x^2 \)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 = \frac{\frac{r_s}{r} \mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + \mathrm{d}x^2 \,\,\,\,\,\,\, (4) \)

[Professor Puntje]

Aangezien het licht enkel in de buurt van de zon een merkbare afbuiging ondergaat en zelfs die afbuiging zeer gering is, vinden we de daar ondervonden gravitatie bij goede benadering door te stellen dat:

\( r^2 = x^2 + \mathrm{R}^2 \)

\( 2 r \mathrm{d}r = 2 x \mathrm{d}x \)

\( r \mathrm{d}r = x \mathrm{d}x \)

\( r^2\mathrm{d}r^2 = x^2 \mathrm{d}x^2 \)

\( \mathrm{d}r^2 = \frac{x^2}{r^2} \mathrm{d}x^2 \,\,\,\,\,\, (5) \)

[Professor Puntje]

Combinatie van (4) en (5) geeft:

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 = \frac{\frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} \mathrm{d}x^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + \mathrm{d}x^2 \)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 = \left ( \frac{\frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} }{1 - \frac{r_s}{r} } + 1 \right ) \mathrm{d}x^2 \)

\( \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})c^2}{ \frac{\frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} }{1 - \frac{r_s}{r} } + 1 } \)

\( \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

[Professor Puntje]

Uit bovenstaand plaatje van een infinitesimaal voortschrijdend golffront zien we dat:

\(\)

\( \mathrm{d} \varphi = \tan( \mathrm{d} \varphi ) \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{ (x_{R+dR}(t + \mathrm{d}t) - x_{R+dR}(t)) \, - \, (x_R(t + \mathrm{d}t) - x_R(t)) )}{\mathrm{d}R} \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{ \frac{\mathrm{d} x_{R+dR}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}t \, - \, \frac{\mathrm{d} x_R}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}t }{\mathrm{d}R} \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{ \frac{\mathrm{d} x_{R+dR}}{\mathrm{d}t} \, - \, \frac{\mathrm{d} x_R}{\mathrm{d}t} }{\mathrm{d}R} \cdot \mathrm{d}t \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) \cdot \mathrm{d}t \,\,\,\,\,\,\,\, (*) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

\(\)

(Formule (*) is mogelijk ook interessant, maar het gaat mij nu in eerste instantie om het narekenen van de MathPages aanpak.)

[Professor Puntje]

Om te bekijken of het grafiekje met de twee toppen op MathPages correct is moeten we nu het rechter lid van formule (7) uitrekenen. Maar dat gaat zo te zien gruwelijke uitdrukkingen opleveren. In de literatuur wordt in een dergelijk geval dan vaak een hele reeks benaderingen toegepast zodat er weer fatsoenlijk aan te rekenen is, maar wellicht zijn er hier leden van het forum die softwarematig een grafiekje van \( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} \) kunnen genereren? Dat zou heel leuk zijn. Alle benodigde formules zijn in dit topic te vinden en nadere vragen beantwoord ik ook graag.

[Professor Puntje]

Voor de schwarzschildradius r_s en straal R_zon van onze zon hebben we:

\(\)

\( \left. \begin{array} {lcrr} r_s = 2,95.10^3 \, \mathrm{m} \\ \mathrm{R}_{zon} = 7,0.10^8 \, \mathrm{m} \end{array} \right \} \,\,\,\,\,\, (8) \)

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius

Derhalve geldt voor een lichtstraal die rakelings langs de zon scheert dat: R = R_zon .