Behoud van impulsmoment en energie

[wnvl1]

In het deeltje 'Trajcories in the Schwarzschild metric' stelt Schutz dat als de metriek tijdsonafhankelijk is, \(p_0\) een constante is (E). Analoog geldt dat als de metriek onafhankelijk is van \(\phi\), dat dan \(p_{\phi}\) constant is (L).

Later berekend hij dan

$$p^0 = g^{00}p_0=(1-2M/r)^{-1}E$$
$$p^{\phi}= g^{\phi\phi}p_{\phi} = L/r^2$$

Vraag is nu: hoe kan ik inzien dat het precies de p's met subindex zijn die constant zijn en niet met superindex.

[flappelap]

Volgt dat niet rechtstreeks uit de Euler-Lagrange vergelijkingen? B.v., L hangt niet af van t. Dus de part. afgeleide van L naar t is nul. Pas dan de Euler-Lagrange vergelijking toe met de Hamiltoniaanse definitie van impuls.

[wnvl1]

De Lagrangiaan is dan

$$L= - \sqrt{\left (1 - \frac {2M} {r} \right )(\frac{dt}{d\tau})^2 + \frac {1} {1 - 2M/r} (\frac{dr}{d\tau})^2 + r^2(\frac{d \theta}{d\tau})^2 + sin^2\theta (\frac{d \phi}{d\tau})^2)}$$

Uit
$$\frac{\partial L}{\partial \phi}=0$$
,volgt dan op basis van Euler Lagrange dat
$$p_\phi= \frac{\partial L}{\partial \frac{d \phi}{d\tau}}=constant$$

Dat komt neer op de stelling van Noether. Die impulsen die ik aldus kan bekomen voor de tijd en voor de hoek \(\phi\) zijn constant.

Die L is invariant. Ik leid partieel af naar de variabele \(\frac{d \phi}{d\tau}\), dus die \( p_\phi\) gedraagt zich covariant, dus de indices staan beneden.

Het blijft heel moeilijk om echt goed te vatten dat het de p met de indices beneden is die constant blijft.

[flappelap]

In het deeltje 'Trajcories in the Schwarzschild metric' stelt Schutz dat als de metriek tijdsonafhankelijk is, \(p_0\) een constante is (E). Analoog geldt dat als de metriek onafhankelijk is van \(\phi\), dat dan \(p_{\phi}\) constant is (L).

Later berekend hij dan

$$p^0 = g^{00}p_0=(1-2M/r)^{-1}E$$
$$p^{\phi}= g^{\phi\phi}p_{\phi} = L/r^2$$

Vraag is nu: hoe kan ik inzien dat het precies de p's met subindex zijn die constant zijn en niet met superindex.

De Euler-Lagrange vergelijkingen vertellen ons dat

$$\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}= \frac{dp_{\mu}}{d\tau} $$

De impuls hier is covariant (subindex), want de linkerkant is dat immers ook; je differentieert t.o.v. \(x^{\mu}\). De impuls is op de gebruikelijke manier gedefinieerd:

$$p_{\mu} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}$$

Als L dan niet van \(x^{\mu}\) hangt, is de bijbehorende impuls \(p_{\mu}\) automatisch behouden. De coordinaten komen natuurlijkerwijs met een bovenindex, en de impulsen met een beneden-index. Dat \(p^{\mu}\) niet automatisch behouden is wanneer \(p_{\mu}\) dat wel is kun je rechtstreeks uit de kettingregel halen:

$$\frac{d p^{\mu}}{d\tau} = \frac{d}{d\tau} (g^{\mu\nu}p_{\nu}) = \frac{d}{d\tau} (g^{\mu\nu})p_{\nu} = \dot{x}^{\rho}(\partial_{\rho} g^{\mu\nu})p_{\nu}$$

Het is dus niet moeilijk om in te zien want het volgt rechtstreeks uit de algemene definitie van de EL vergelijkingen, maar als je expliciete coordinaten gaat invullen, dan wordt het inderdaad lastiger.

[wnvl1]

Zo is het duidelijk. Het was initieel wat tegen de intuitie, vertrekkend vanuit p=m*U. U is contravariant en dan zou je p ook contravariant verwachten.

[flappelap]

Zo is het duidelijk. Het was initieel wat tegen de intuitie, vertrekkend vanuit p=m*U. U is contravariant en dan zou je p ook contravariant verwachten.

Ja, alleen is dat niet de definitie van impuls: die volgt uiteindelijk uit de Lagrangiaan.

[HansH]

zonder gelijk in alle details van de ART te duiken:
Is het mogelijk om iets te zeggen over leveren van energie van een voorwerp wat zich in een zwaartekrachtsveld beweegt?
bv als een renner in de tour de alpe d'huez op fietst geeft zijn watt meter precies aan hoeveel vermogen daarbij geleverd wordt. even alleen naar de zwaartekracht kijkend: stel ik laat een steen vallen van 1kg van een hoogte van 10000km boven het aardoppervlak op een stilstaande positie tov het centrum van de aarde. Wat betekent dat dan in de ART voor de energie die daarbij geleverd wordt en hoe verschilt dat tov Newton en wat veroorzaakt dat verschil?
Ik begreep dat er in de ART niet zoiets is als behoud van energie.

[wnvl1]

Aan gravitationele energie kan je geen absolute betekenis toekennen vanwege het equivalentieprincipe. Er is altijd een lokaal inertiaal frame (het vrij vallende frame) waarin ruimtetijd eruit ziet als een Minkowki ruimte (de gewone, vlakke ruimte uit de SRT).
Als er een frame-onafhankelijk lokaal concept van gravitationele-energie zou zijn, dan moet dat een tensor zijn (een ding dat mee transformeert volgens de gekozen coördinaten)
Een eigenschap van tensoren is dat als de tensor nul is in een lokaal frame, dat hij dan nul is in elk frame. Tot een potentiële gravitationele energie die lokaal en frame onafhankelijk is, kan je dus nooit komen in de ART.

In de Newtoniaanse mechanica ga je potentiële gravitaionele energie gebruiken als onderdeeel van de wet van behoud van energie (kinetische + potentiële energie is constant).
In de ART kan je ook zulke behouden grootheden hebben die gegeven worden door een Killing vectorveld. Dat is een infinitesimale generator van een isometrie: ruimtetijd “ziet er hetzelfde uit” in de richting van een Killing vector.
Dat is te vergelijken met behoud van energie zoals je het toepast in de klassieke fysica. Als een systeem een tijdstranslatie symmetrie bevat in de klassieke mechanica, dan is er behoud van energie. In de ART verandert de ruimte tijd niet in de richting van een Killing vector.

[HansH]

ok, maar even praktisch: de potentiele energie van de vallende steen wordt volledig omgezet in warmte die warmte energie is er dus en kun je niet omheen. kun je zo'n soortgelijke redenatie houden in de ART zodat de warmte energie niet ineens uit het niets ontstaat?

[wnvl1]

De energie-impuls tensor doet volgens de ART de ruimte krommen. Die energie-impulstensor heeft een divergentie die gelijk is aan nul. Dat geeft aan dat er lokaal geen energie/impuls verloren gaat. Voor potentiële gravitationele energie is er in die energie-impuls tensor geen plek. Voor de verklaring van de warmte die ontstaat moet je gaan kijken naar andere krachten/energieën. Denk aan elektromagnetische interacties. Als je in vrije val bent in de ruimte dan ge je die 'potentiële grravitationele' energie (die er volgens de ART niet is) niet in warmte kunnen omzetten.

[HansH]

Voor de verklaring van de warmte die ontstaat moet je gaan kijken naar andere krachten/energieën. Denk aan elektromagnetische interacties. Als je in vrije val bent in de ruimte dan ge je die 'potentiële grravitationele' energie (die er volgens de ART niet is) niet in warmte kunnen omzetten.

met newton kun je simpel uitrekenen dat de snelheid van de vallende massa toeneemt voor 100% tgv de zwaartekracht. dus moet die warmte wel het gevolg zijn van energie die hoort bij zwaartekracht. Als de ART een berschrijving is van de werkeijkheid dan moet je het ontstaan van de warmte dus kunnen verklaren vanuit de ART lijkt mij.

[wnvl1]

ART is een stuk van het verhaal. ART beschrijft hoe impuls en energie de ruimte kromt. Op die gekromde ruimte heb je dan nog een thermodynamica / statistische mechanica nodig die beschrijft hoe warmte ontstaat door de elektromagnetische interacties door de wrijving etc. Mogelijk heb je hiervoor een QFT theorie voor nodig? Het kan volgens mij. Het is uiteraard helemaal niet realistisch om te verwachten dat dit in een forum topic uitgewerkt kan worden.

Om de moeilijkheid te kaderen. Einsteins slaagde er zelfs niet in om de allersimpelste constellatie voor een zwart gat uit te werken, dat lukte Schwarschild pas een paar jaar later.

ps. Je kan wel een link leggen tussen gravitationele potentiële energie en de metriiek in geval van gelineariseerde ART. Dat is al een paar keer gepasseerd op dit forum o.a. in posts van Flappelap, maar dat is niet het onderwerp van deze discussie. Het gaat over exacte oplossingen.

[HansH]

een thermodynamica / statistische mechanica nodig die beschrijft hoe warmte ontstaat door de elektromagnetische interacties door de wrijving etc.

De discussie hoe de ene energievorm (kinetische energie= snelheid) wordt omgezet naar warmte hoeft hier niet gevoerd te worden lijkt mij. het punt is waar die kinetische energie vandaan komt terwijl die er eerst niet was (een steen die stil staan tov de aarde op 10000 km hoogte en dan wordt losgelaten)

[wnvl1]

Kinetische energie omzetten in warmte, ik kijk daar niet zo naar. Als je een steen laat vallen op de aarde. Dan beweegt bij aanvang de steen door de ruimte tijd met de snelheid van het licht (de norm van de 4-snelheid is steeds c) en de aarde beweegt ook door de ruimte tijd met snelheid c. Beide geodeten neigen naar elkaar toe door de kromming veroorzaakt door de massa. De steen botst op de aarde. Daardoor gaat in het frame van de steen en de aarde na de botsing de gemiddelde kinetische energie van de deeltjes wat verhogen. Dat is wat we een stijging van de temperatuur noemen in de thermodynamica.

Mijn uitleg kan zeker verfijnd worden, maar zo begrijp ik het.

[HansH]

Als je een steen laat vallen op de aarde. Dan beweegt bij aanvang de steen door de ruimte tijd met de snelheid van het licht (de norm van de 4-snelheid is steeds c) en de aarde beweegt ook door de ruimte tijd met snelheid c. Beide geodeten neigen naar elkaar toe door de kromming veroorzaakt door de massa. De steen botst op de aarde. Daardoor gaat in het frame van de steen en de aarde na de botsing de gemiddelde kinetische energie van de deeltjes wat verhogen. Dat is wat we een stijging van de temperatuur noemen in de thermodynamica.

punt blijft denk ik wat het verschil is tussen
1) de begin situatie (centrum aarde en steen staan stil tov elkaar)
2) de situatie vlak voor botsing centrum aarde en steen hebben een snelheid tov elkaar. (jij noemt dat vergelijking van 2 keer een 4 snelheid)
3) aarde en steen staan weer stil tov elkaar na botsing (doe voor het gemak maar even alsof de aarde niet draait)
Feit blijft volgens mij dat tussen situatie 1 en 2 ergens een energieverschil opgebouwd moet zijn wat bij de overgang van 2 naar 3 weer vrij komt in de vorm van warmte.
vraag is dus hoe dat energieverschil samenhangt met die 2 viersnelheden. dat moet immers dezelfde energie opleveren volgens Newton en ART omdat bij die snelheden het verschil tussen ART en Newton te verwaarlozen is.