Vraag over verdichtingspunten

[Professor Puntje]

Laat x₀, x₁, x₂, x₃, ... , x_n , ... en y₀, y₁, y₂, y₃, ... , y_n , ... oneindige rijen cijfers gekozen uit {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} zijn. Definieer verder:

\(\)

\( x(n)= \sum\limits_{k=0}^n x_k 10^k \)

\(\)

\( y(n)= \sum\limits_{k=0}^n y_k 10^k \)

\(\)

Stel nu dat de onderstaande rij slechts één verdichtingspunt in \( \mathbb{R} \) heeft en wel op "1".

\(\)

\( \frac{x(0) + 1}{y(0) +1} , \frac{x(1) + 1}{y(1) +1} , \frac{x(2) + 1}{y(2) +1} , \frac{x(3) + 1}{y(3) +1} , ... \)

\(\)

Is het dan zo dat x_k ≠ y_k hoogstens voor eindig veel k kan voorkomen?

[Professor Puntje]

Correctie

In de openingspost moet het zijn:

"Stel nu dat de onderstaande rij slechts één verdichtingspunt in \( \mathbb{\overline{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty \} \cup \{ -\infty \} \) heeft en wel op "1"."

[Math-E-Mad-X]

Ik denk dat je stelling klopt, maar ik kom er net niet helemaal uit. Het is wel vrij eenvoudig om een stelling te bewijzen die er sterk op lijkt.

Stelling:
Als jouw rij exact 1 verdichtingspunt heeft, en wel op 1, dan zijn er hoogstens eindig veel k waarvoor \(x_k = 4\) en \(y_k = 2\)

Bewijs (vanuit het ongerijmde):
Voor elke k met \(x_k = 4\) en \(y_k = 2\) hebben we dat \(\frac{x(k)+1}{y(k)+1}\) in het interval \([\frac{4.000..}{2.999...}, \frac{4.999...}{2.000...}] \) ligt, oftwel in het interval \([\frac{4}{3}, \frac{5}{2}]\). Dus als we oneindig veel van zulke k's hebben, dan heeft de rij oneinding veel elementen in het compacte interval \([\frac{4}{3}, \frac{5}{2}]\), en dus moet de rij een verdichtingspunt in dat interval hebben, wat in tegenspraak is met de aanname.



Deze stelling en het bewijs gelden natuurlijk niet alleen voor de cijfers 4 en 2. Je kan hem makkelijk generaliseren, maar het gaat mis als je bijvoorbeeld 3 en 2 kiest, want dan krijg je het interval \([\frac{3}{3}, \frac{4}{2}]\) en daar ligt het getal 1 in. Ik denk echter dat dat wel te repareren valt.

[Professor Puntje]

Dat had ik nou ook! De stelling lijkt evident genoeg en het bewijs lijkt voor het grijpen te liggen, maar steeds duiken er weer hinderlijke details op (zoals bij x_k=3 & y_k=2) die roet in het eten gooien.


Misschien wordt het eenvoudiger wanneer we x(n) en y(n) opsplitsen in getallen bestaande uit enkel nullen en enen, of enkel nullen en tweeën, of enkel nullen en drieën, etc. volgens:

\(\)

\( x^i(n)= \sum\limits_{k=0}^n x_k \delta_{x_k}^i 10^k \)

\(\)

Zodat:

\(\)

\( x^i(n)= i \cdot \sum\limits_{k=0}^n \delta_{x_k}^i 10^k \,\,\, \& \,\,\, x(n) = \sum\limits_{i=1}^9 x^i(n) \)

\(\)

En net zo voor y(n). Dan krijg je iets in de geest van Tempelier.

[Math-E-Mad-X]

Mijn idee was eerder om mijn voorgaande bewijs verder uit te werken om het volledig correct te maken. Het idee achter mijn bewijs lijkt me namelijk gewoon te kloppen.

Het werkt alleen niet omdat ik alleen maar naar het hoogste cijfer kijk, maar je kan het idee ook toepassen met de hoogste twee cijfers. Dan krijg je wel weer hetzelfde probleem, maar dat kun je dan weer oplossen door naar de hoogste 3 cijfers te kijken, etcetera. Mijn gevoel zegt me dat je dan uiteindelijk kunt laten zien dat het bewijs altijd werkt tenzij de twee rijen x_k en y_k identiek zijn, maar in dat geval is de stelling natuurlijk triviaal.

Maar ik kan ook helemaal mis zitten met deze gedachten. Op dit moment ga ik echt puur af op mijn intuitie en die blijkt vaak genoeg fout te zijn.

[Professor Puntje]

Stel dat voor een zekere n geldt dat:

\(\)

\( y_n - 1 > x_n \)

\(\)

Dan vinden we voor ε = 1/11 dat:

\(\)

\( (y_n - 1) - \epsilon \, (y_n + 10^{-n}) > x_n \)

\(\)

\( y_n + 10^{-n} - \epsilon \, (y_n + 10^{-n}) > x_n + 1 + 10^{-n} \)

\(\)

\( (1 - \epsilon)(y_n + 10^{-n}) > (x_n + 1) + 10^{-n} \)

\(\)

\( 1 - \epsilon > \frac{(x_n + 1) + 10^{-n}}{y_n + 10^{-n}} \)

\(\)

\( 1 - \epsilon > \frac{(x_n + 1) 10^n + 1}{y_n 10^n + 1} \)

\(\)

\( 1 - \epsilon > \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \)

\(\)

\( 1 > \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} + \epsilon \)

\(\)

\( 1 - \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} > \epsilon \)

\(\)

\( \left | \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} - 1 \right | > \epsilon \)

\(\)

\( \left | \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} - 1 \right | > \frac{1}{11} \)

\(\)

Dus wanneer voor oneindig veel n geldt dat \( y_n - 1 > x_n \) dan kan de limiet \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \) onmogelijk meer 1 zijn.

[Professor Puntje]

Stel dat voor een zekere n geldt dat:

\(\)

\( y_n + 1 < x_n \)

\(\)

Dan vinden we voor ε = 1/12 dat:

\(\)

\( (y_n + 1) + \epsilon \, ((y_n + 1) + 10^{-n}) < x_n \)

\(\)

\( (y_n + 1) + 10^{-n} + \epsilon \, ((y_n + 1) + 10^{-n}) < x_n + 10^{-n} \)

\(\)

\( (1 + \epsilon)((y_n + 1) + 10^{-n}) < x_n + 10^{-n} \)

\(\)

\( 1 + \epsilon < \frac{x_n + 10^{-n}}{(y_n + 1) + 10^{-n}} \)

\(\)

\( 1 + \epsilon < \frac{x_n 10^n + 1}{(y_n + 1) 10^n + 1} \)

\(\)

\( 1 + \epsilon < \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \)

\(\)

\( \epsilon < \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} - 1 \)

\(\)

\( \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} - 1 > \epsilon \)

\(\)

\( \left | \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} - 1 \right | > \epsilon \)

\(\)

\( \left | \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} - 1 \right | > \frac{1}{12} \)

\(\)

Dus wanneer voor oneindig veel n geldt dat \( y_n + 1 < x_n \) dan kan de limiet \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \) onmogelijk nog 1 zijn.

[Professor Puntje]

Dus wanneer voor oneindig veel n geldt dat \( y_n - 1 > x_n \) dan kan de limiet \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \) onmogelijk meer 1 zijn.

Dus wanneer voor oneindig veel n geldt dat \( y_n + 1 < x_n \) dan kan de limiet \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \) onmogelijk nog 1 zijn.

Met andere woorden wanneer \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, = \, 1 \), dan kan er slechts voor eindig veel n gelden dat \( y_n - 1 > x_n \) en kan er ook slechts voor eindig veel n gelden dat \( y_n + 1 < x_n \). Maar als er slechts voor eindig veel n geldt dat \( y_n - 1 > x_n \) en dat \( y_n + 1 < x_n \), dan is er een natuurlijk getal M zodanig dat \( y_n - 1 > x_n \) en \( y_n + 1 < x_n \) voor n > M niet langer voorkomen. Bijgevolg impliceert \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, = \, 1 \) dat er een natuurlijk getal M is zodat \( y_n - 1 \leq x_n \leq y_n + 1 \) voor alle n > M.

[Professor Puntje]

Indien \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, = \, 1 \) dan is er dus steeds een natuurlijk getal M zodanig dat er voor alle n > M+2 bijpassende waarden van \( \alpha_n , \beta_{n-1} \in \{-1, 0 , +1 \} \,\,\,\, \& \,\,\,\, \gamma_{n-2} \in (-2,+2) \) te vinden zijn zodat:

\(\)

\( \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, = \, \frac{(y_n + \alpha_n) 10^n + (y_{n-1} + \beta_{n-1}) 10^{n-1} + x(n-2) \, + \,1}{y_n 10^n + y_{n-1} 10^{n-1} + y(n-2) \, + \, 1} \)

\(\)

\( \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, = \, \frac{y _n 10^n + y_{n-1} 10^{n-1} + y(n-2) \, + \, 1}{y_n 10^n + y_{n-1} 10^{n-1} + y(n-2) \, + \, 1} \, + \, \frac{\alpha_n 10^n + \beta_{n-1} 10^{n-1} + x(n-2) - y(n-2)}{y_n 10^n + y_{n-1} 10^{n-1} + y(n-2) \, + \, 1}\)

\(\)

\( \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, = \, 1 \, + \, \frac{\alpha_n 10^n + \beta_{n-1} 10^{n-1} + \gamma_{n-2} 10^{n-2}}{y(n) + 1}\)

\(\)

\( \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, - \, 1 = \, \frac{\alpha_n + \frac{\beta_{n-1}}{10} + \frac{\gamma_{n-2}}{100}}{(y(n) + 1) 10^{-n}} \)

\(\)

\( \left | \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, - \, 1 \right | = \, \left | \frac{\alpha_n + \frac{\beta_{n-1}}{10} + \frac{\gamma_{n-2}}{100}}{(y(n) + 1) 10^{-n}} \right | \)

\(\)

\( \left | \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, - \, 1 \right | \geq \, \left | \frac{\alpha_n + \frac{\beta_{n-1}}{10} + \frac{\gamma_{n-2}}{100}}{10^{n+1} \cdot 10^{-n}} \right | \)

\(\)

\( \left | \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, - \, 1 \right | \geq \, \left | \frac{\alpha_n + \frac{\beta_{n-1}}{10} + \frac{\gamma_{n-2}}{100}}{10} \right | \)

\(\)

\( \left | \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \, - \, 1 \right | \geq \, \frac{1}{1000} | 100 \alpha_n + 10 \beta_{n-1} + \gamma_{n-2} | \)

\(\)

Hopelijk bestaat er nu voor \( | 100 \alpha_n + 10 \beta_{n-1} + \gamma_{n-2} | \) een positieve ondergrens G die opgaat voor alle combinaties van α_n en β_n-1 waarbij deze niet beide nul zijn......

[Professor Puntje]

αn	βn-1	100 αn + 10 βn-1	| 100 αn + 10 βn-1 + γn-2 |
0	0	0	∈ [0,2)
0	-1	-10	> 8
0	+1	+10	> 8
-1	0	-100	> 98
-1	-1	-110	> 108
-1	+1	-90	> 88
+1	0	100	> 98
+1	-1	90	> 88
+1	+1	110	> 108

Dus wanneer α_n en β_n-1 niet beide nul zijn dan geldt:

\( | 100 \alpha_n + 10 \beta_{n-1} + \gamma_{n-2} | \, > \, 8 \) .


Bijgevolg zal \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} \) niet gelijk aan 1 kunnen zijn als in de combinatie α_n & β_n-1 voor oneindig veel n de α_n en β_n-1 niet beide nul zijn. En omgekeerd volgt dus uit \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} = 1 \) dat in de combinatie α_n & β_n-1 de α_n en β_n-1 slechts voor eindig veel n niet beide nul kunnen zijn.

[Professor Puntje]

En omgekeerd volgt dus uit \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} = 1 \) dat in de combinatie α_n & β_n-1 de α_n en β_n-1 slechts voor eindig veel n niet beide nul kunnen zijn.

Voor alle x en y waarvoor \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} = 1 \) is er derhalve een bijpassend natuurlijk getal K zodat α_n = 0 (en β_n-1 = 0) voor alle n > K. En dus is er ook voor alle x en y waarvoor \( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(n) + 1}{y(n) + 1} = 1 \) een bijpassend natuurlijk getal K zodanig dat x_n = y_n voor alle n > K.

[Professor Puntje]

Het is bekend dat als er voor een reële rij slechts één verdichtingspunt in \( \overline{ \mathbb{R}} \) bestaat dat dan dit verdichtingspunt ook de limiet van die rij is. Waarmee het bewijs rond is.