Gradus

[ukster]

Ergens in een prachtig polderlandschap waar de wind door de kale wilgen giert, begint het zwaar te sneeuwen met constante snelheid en al gauw ligt er een witte deken. Onze held Gradus - een doorgewinterde ondernemer met een gouden idee: een gloednieuw sneeuwruimbedrijf.
Met een brede grijns en een thermoskan vol zelfgemaakte erwtensoep stapt hij in zijn knalgele sneeuwruimer.
Om 8:00 uur 's morgens scheurt hij vol goede moed de eerste kilometers door de besneeuwde weilanden.
De boeren kijken hem na en denken: "Die Gradus toch, altijd in voor een uitdaging!"
Om 9:00 uur heeft hij al netjes 2 kilometer afgelegd - niet slecht voor een ochtend werk.
Om 10:00 uur staat de teller op 3 kilometer.
Nu is de vraag die menig wiskundeleraar zijn leerlingen zou voorschotelen:
Op welk mysterieus tijdstip begon die sneeuw nu precies te vallen, ervan uitgaande dat Gradus' sneeuwruimer even consequent is als een ambtenaar met een stempelstift, natuurlijk.
Een wiskundige puzzel die zelfs de koeien in de wei aan het hoofdschudden zou brengen!

[wnvl1]

Is de snelheid van de sneeuwruimer gekoppeld aan het al dan niet sneeuwen of is de snelheid gekoppeld aan de hoogte van de sneeuw?

[ukster]

Het sneeuwt met constante snelheid. de sneeuwruimer verwijdert elk uur een constant volume sneeuw.

[wnvl1]

Je komt dan op een vergelijking voor de snelheid die eruit ziet als

$$v(t)=1/(a+b u(t-t_0)(t-t_0)).$$

met \(t\) de tijd na 8 uur en \(t_0\) het moment dat het begint te sneeuwen en u(t) de eenheidsstapfunctie.

Integreren levert op voor t <t0

$$x(t)=t/a $$
en voor t >t0
\[
x(t)=t_0/a + \int_{t_0}^{t} \frac{1}{a + b(t - t_0)} \, dt = (\frac{1}{b} \ln|a + b (t - t_0)| - \frac{1}{b}\ln|a|) + t_0/a.
\]

Er geldt nu dat \(x(1)=2\) en \(x(2)=3\).

Dan heb ik twee vergelijkingen en drie onbekenden.

[Xilvo]

Je komt dan op een vergelijking voor de snelheid die eruit ziet als...

Maar dat is natuurlijk maar één van de vele manieren waarop de snelheid afhankelijk kan zijn van de sneeuwhoogte.

Boven een zekere sneeuwhoogte zal er geen doorkomen meer aan zijn, dus ook jouw idee (waar ik ook mee speelde) kan niet helemaal goed zijn.

[wnvl1]

Ukster heeft gezegd dat de sneeuwruimer elk uur een vast volume sneeuw opruimt. Het sneeuwdebiet is constant, dus h(t)*v(t)=C. Daaruit volgt dat snelheid omgekeerd evenredig is met de hoogte. De hoogte kan ik schrijven in de vorm a+b*u(t-t0)*(t-t0). Zo kom ik aan mijn formule voor de snelheid.

[Xilvo]

Ukster heeft gezegd dat de sneeuwruimer elk uur een vast volume sneeuw opruimt.

Ik reageerde op jouw bericht maar ik had het in de tussentijd door ukster geplaatste bericht niet gelezen.

[ukster]

sneeuwschuiven 679 keer bekeken

α is een constante evenredig met de dwarsdoorsnede A van het sneeuwvolume dat wordt geruimd en de snelheid van de sneeuwploeg.
w is de schuiverbreedte.

formules 679 keer bekeken

Hieruit volg x(t)
De ploegsnelheid v(t) is dus omgekeerd evenredig met het sneeuwvolume V(t)
Die C valt trouwens weg als je de initiële condities invult.

[wnvl1]

Ik vind de redenering niet zo gemakkelijk te begrijpen. V(t) is dat het volume geruimde sneeuw? Moet dat op tijdstip nul niet nul zijn?
Zoniet kan je dan een exacte definitie van V(t) geven?

[ukster]

V(t)=k(t+h)
k is de constante rate waarmee de sneeuw valt. [m³/h]
in het plaatje: V(0)=c [m³]

[wnvl1]

Ik snap het. Ik heb de opgave verkeerd geïnterpreteerd. Ik ging ervan uit dat het had gesneeuwd en dat er dus sneeuw lag op de weilanden. Gradus begint de sneeuw te ruimen en tijdens het ruimen begint het op een onbekend moment tussen 8:00 en 10:00 terug bij te sneeuwen. Daarom had ik een onbekende te veel.

Maar de idee is dus dat er initieel geen sneeuw lag en dat het vóór 8:00 is beginnen te sneeuwen.

[ukster]

precies!
de ploegsnelheid was al bekend: v(t)=C/(t+h) met C=α/(w.κ)
hieruit volgt de uitdrukking voor de afgelegde weg x(t)
door hierin de initiële condities in te vullen kan h berekend worden.
(h =de tijd voor 8:00 waarbij het begint te sneeuwen)
Daarmee wordt ook de waarde van C bekend en dus ook de ploegsnelheid op t=0, t=1uur en t=2uur
Wanneer k en w worden gegeven kan de waarde van α worden berekend.

[wnvl1]

h is \( -1/2 + \sqrt5/2\).

7:23 is het beginnen sneeuwen.

[ukster]

Ja, en dan is:
C ≈ 2,0781km
v(0km) ≈ 0,934 m/s
v(1km) ≈ 0,35676 m/s
v(2km) ≈ 0,2204 m/s

stel: w=3m en k=230 m³/h
dan α=Ckw ≈ 1,434.10⁶ m⁵/h