cock: Dat is de crux het hele gedachtenexperiment. Ik denk dat u zich hierin vergist. Er zal vermoed ik wel sprake zijn van respectievelijk een rood en een blauwverschuiving, maar niet van een verandering in het waargenomen tempo. Bestaat er een wiskundige manier om deze kwestie uit te klaren?
Jouw voorbeeld is niet realistisch, want treinen kunnen niet met de snelheid van het licht bewegen, en geen van jouw conclusies is correct. Begrijpen wat er gebeurt vereist ondermeer inzicht in het Doppler effect, tijddilatatie en aberratie, tezamen vormen ze het relativistisch Dopplereffect (
klik ).
Doppler
Het klassieke Doppler effect is eenvoudig in te zien: Een sirene die ons nadert klinkt hoger (hogere frequentie, meer golven per seconde, een hoger tempo, blauwverschuiving bij licht) dan een sirene die van ons af beweegt (lagere frequentie, minder golven per seconde, een lager tempo, roodverschuiving bij licht). Iedere opeenvolgende golf hoeft bij nadering immers minder afstand af te leggen dan de voorgaande, en is dus eerder bij de ontvanger dan zonder nadering. Rood/blauwverschuiving
is verandering van tempo. Voor de waarnemer welteverstaan, want de bronfrequentie wijzigt natuurlijk niet. In formulevorm:
\(f_{w}=f_{b}(\frac{v}{v-v_{b}}})\)
bij naderen, en
\(f_{w}=f_{b}(\frac{v}{v+v_{b}}})\)
bij verwijderen. f
w is de waargenomen frequentie, f
b is de bronfrequentie, v is de snelheid door het medium en v
b de snelheid van de bron. Hieraan valt al te zien dat een voorbijrazende trein zowel een roodverschuiving (tragere tikken) bij de van ons wegrazende voorzijde als een blauwverschuiving (snellere tikken) bij de naar ons toekomende achterzijde zal laten zien.
Tijddilatatie
Dit is een uitvloeisel van de speciale relativiteit. Een bewegende klok loopt voor een waarnemer meetbaar trager bij hoge snelheden. Een klok die iedere seconde een flits uitzendt en met 0,6 keer de lichtsnelheid tov een waarnemer beweegt zal vertraagd worden met een zogenoemde Lorentz factor (gamma). Die is uit te rekenen met de volgende formule:
\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\)
.
Ik weet dat wiskunde niet jouw hobby is, maar probeer deze eenvoudige berekening eens te volgen:
Als we alle snelheden uitdrukken in c (en c op 1 stellen), dan is formule voor gamma te vereenvoudigen naar:
\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\)
(want 1
2 is 1 en v
2/1=v
2, dus c valt helemaal weg). Vullen we voor v 0,6 in dan krijgen we in stapjes:
\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0,6^2}}\)
=
\(\frac{1}{\sqrt{1-0,36}}\)
=
\(\frac{1}{\sqrt{0,64}}\)
=
\(\frac{1}{0,8}\)
=
1,25. Met deze factor lopen klokken trager als ze met 0,6c t.o.v. ons bewegen (en de trein wordt door de lengtecontractie in de bewegingsrichting met dezelfde factor korter). Maar de waarnemer heeft ook nog rekening te houden met het Dopplereffect van hierboven!
Aberratie
Het maakt verschil , of je op de rails staat en de trein beweegt recht naar je toe (of af) of je staat op het perron waarbij de trein zich loodrecht op de kijkbeweging voortbeweegt. Deze zogenaamde transversale beweging heeft ook zijn eigenaardigheden. Een voorbeeldje: Jij en ik gooien een balletje over, terwijl ik transversaal aan jou beweeg (in die trein bijvoorbeeld). Iedere keer zal de hoek waarin wij het balletje moeten gooien om de ander te bereiken aangepast moeten worden waarbij jij moet mikken naar het punt waar ik zal zijn als de bal en ik samenkomen. Iets dergelijks gebeurt er ook met licht bij zeer hoge snelheden en wordt relativistische aberratie genoemd. De formule hiervoor is: cos φ'= (cos φ - v/c)/(1- v cos φ/c). Het voert te ver om dit helemaal te gaan toelichten, in een ander topic (
klik ) is dit uitgebreider aan de orde geweest, maar hier valt wel te zien dat je niet zomaar wat kan zeggen over meerdere lampjes tegelijkertijd, omdat ze allemaal een andere hoek t.o.v. de waarnemer op het perron hebben.
Doppler, Lorentzfactor en aberratie tezamen zullen dan samen met wat wiskunde tot de juiste oplossing moeten leiden. Al met al aardig complexe materie dus, en jouw vragen zijn niet te beantwoorden omdat je een omschrijving geeft waar je honderden berekeningen aan zou kunnen doen (als de uitgangswaarden al helder zouden zijn) en je een eenvoudig antwoord verwacht.
Probeer het eens met een zo eenvoudig mogelijke vraag en realistische snelheden (< c).