deelverzamelingen

[Dries Vander Linden]

Bestaan er echte deelverzamelingen van Rⁿ(n-dimensionale reële ruimte), die open zijn in Rⁿen gesloten zijn in Rⁿ⁺¹ ? 
 
Waarom wel/niet?
 
Alvast bedankt!

[tempelier]

Je moet dan wel aannemen dat Rn
 

Bestaan er echte deelverzamelingen van Rⁿ(n-dimensionale reële ruimte), die open zijn in Rⁿen gesloten zijn in Rⁿ⁺¹ ? 
 
Waarom wel/niet?
 
Alvast bedankt!

Je moet dan wel aannemen dat

\(\rr^n\quad \mbox{een deelverzameling is van}\quad \rr^{n+1}\)

anders wordt je vraag zinloos.
 
Lijkt me dat daarin het antwoord ligt.

[Dries Vander Linden]

dus, als een verzameling open is in Rⁿ, dan is ze ook open in Rⁿ⁺¹?
 
hoe kan je dit bewijzen?

[Dries Vander Linden]

volgens mij is een open verzameling in Rⁿ noch open, noch gesloten in Rⁿ⁺¹
 
stel bijvoorbeeld in R²een open verzameling: elk punt is een inwenig punt , de omgeving is hier een cirkel die volledig vol is, behalve de rand
 
in R³: hier is de omgeving een bol, die niet volledig opgevuld is, dus niet elk punt is een inwendig punt, dus deze is noch open, noch gesloten..

[tempelier]

volgens mij is een open verzameling in Rⁿ noch open, noch gesloten in Rⁿ⁺¹
 
stel bijvoorbeeld in R²een open verzameling: elk punt is een inwenig punt , de omgeving is hier een cirkel die volledig vol is, behalve de rand
 
in R³: hier is de omgeving een bol, die niet volledig opgevuld is, dus niet elk punt is een inwendig punt, dus deze is noch open, noch gesloten..

Maar een cirkel heeft geen rand, het is immers per definitie een gesloten kromme.
 
Waarschijnlijk bedoel je het binnengebied van de cirkel.
 
Als je je dat binnengebied voorstelt zoals je doet blijft het gewoon open.
 
Wel is het een kwestie van afspraak.
 
Het interval [0,1] is gesloten.
Het interval <0,1> is open.
 
Het interval <0,1] heet links open en rechts gesloten.
Maar dat wordt als een specifikatie gezien van een open interval.
 
Dus je cirkelschijf blijft gewoon open ook al krijgt hij er wel een rand bij.
 
Maar nogmaals blijft een kwestie van naamgeving.

[Math-E-Mad-X]

@tempelier: uiteindelijk is in de wiskunde natuurlijk alles een kwestie van afspraak.
 
Maar bij een opgave ga je natuurlijk altijd uit van de afspraken die normaal gesproken gelden, tenzij expliciet is vermeld dat dat niet de bedoeling is. En volgens de gebruikelijke afspraken heeft Dries gelijk (althans, het is alweer een tijd geleden dat ik deze stof kreeg, dus ik kan me vergissen, maar het lijkt me correct).

[tempelier]

Ik kan me niet herrineren dat <0,1] noch gesloten noch open wordt genoemd.
Maar goed ik me daar in vergissen.