transcendentale waarden van een functie

[descheleschilder]

Waarom zijn de meeste waarden van een reële functie f(x) transcendentale getallen?

[Safe]

Waar komt deze vraag vandaan ... , of waar ben je mee bezig?

[Math-E-Mad-X]

Over welke reële functie heb je het?
 
De functie

\(f(x) = 1\)

bijvoorbeeld heeft maar één waarde, namelijk 1, en die waarde is duidelijk niet transcendentaal.

[Th.B]

Hij bedoelt misschien een functie met domein R?

[mathfreak]

Even een opmerking: de juiste Nederlandse vertaling van transcendental is transcendent.

[kwasie]

Omdat de meeste getallen in R transcendentaal zijn.

[PeterPan]

Herhaling: de juiste Nederlandse vertaling van transcendental is transcendent.

[descheleschilder]

Ik zal de vraag in correct Nederlands herhalen: Waarom zijn de waarden (het bereik) van de meeste willekeurige (f(x)=1 duidelijk niet) functies transcendent voor het grootste deel van het domein van die functies?

[Safe]

Wat denk je zelf ...

[descheleschilder]

Wat bedoel je met de drie puntjes?

[descheleschilder]

Je zou de vraag ook anders kunnen formuleren (maar dan zonder formules): Bevat de verzameling reëele getallen voor het grootse deel transcendente getallen, uniform verspreid over die verzameling?

[Math-E-Mad-X]

Heel goed, je denkt in de goede richting.
 
Laten we eerst een simpelere vraag proberen te beantwoorden: wat is de kardinaliteit van de verzameling der transcendente getallen, denk je?

[descheleschilder]

De verzameling algebraïsche getallen (reëele of complexe) is aftelbaar oneindig en vormt dus(?) een bijectie met de natuurlijke getallen. Dit omdat algebraïsche getallen oplossingen vormen van de nulpunten van een polynoom van willekeurige orde met gehele (of rationele) coëfficiënten (de n in x tot de n-de moet groter dan nul zijn, hetgeen ook geldt voor de coëfficiënt van die x tot de n-de, an). De kardinaliteit van deze getallen is aleph0. Maar welk getal is daaraan gekoppelt? 1?
Als dat zo is dan zou ik denken dat de kardinaliteit van de verzameling transcendente getallen, waarvan er overaftelbaar veel zijn, oneindig is.
Voor eindige verzamelingen is de kardinaliteit gelijk aan het aantal elementen in de verzameling. Die kardinaliteit kan dus flink oplopen. Nader je oneindig dan wordt de kardinaliteit van zo'n verzameling met oneindig veel elementen gegeven door de kardinaalgetallen aleph0, aleph1, aleph2, etcetera. Het is mij echter onduidelijk of al die alephs corresponderen met welk getal. Misschien met de ordinaal (de 0,1,2,etcetera; of in meer formele notatie 0,1,2,...)?
Zit ik wat dit betreft (een aanloopje naar het antwoord op mijn originele vraag) enigszins in de juist richting?

[Math-E-Mad-X]

Okee, ik bedoelde simpelweg dat de verzameling der algebraïsche getallen aftelbaar is, en dus dat de verzameling der transcendente getallen overaftelbaar is.  Dat heb je dus goed gezien.

Het lijkt me dat daarmee ook je vraag waarom de meeste functiewaarden van een willekeurige functie transcendent zullen zijn beantwoord is. 

[descheleschilder]

Maar wat is nu de kardinaliteit van de verzameling transcendente getallen, of
meer algemeen verzamelingen met oneindig veel elementen? Is dat een ge-
tal (zoals het aantal elementen in een eindige verzameling; de kardinaliteit vande verzameling {i,9,-2, 3+5i} is 4) of wordt het gewoon genoteerd als de limiet van de rij alephn, waarbij n naar oneindig gaat? En wat is het verschil tussen
bijvoorbeeld aleph4 en aleph13?
Bedankt in ieder geval voor jouw reactie!
Groetjes, descheleschilder