integratie van term uit differentiaalvergelijking

[Beunhaas]

Beste forumgenoten,
 
Momenteel ben ik met enkele stabiliteitsoefeningen bezig voor kolommen. Voor dit soort systemen geldt de algemene differentiaalvergelijking zoals in deze afbeelding te zien is.
 
Door de aanwezigheid van de verticale, lijnlast qz, bestaat de oplossing van deze differentiaalvergeleiking uit een homogeneous solution (wh(x)) en een particular solution (wp(x)). i.e.:
 
vervorming systeem:
w(x) = wh(x) + wp(x)
 
de homogeneous solution is:
wh(x) = A1 + A2 x + A3 cos(alpha x) + A4 sin(alpha x)
 
De particular solution, voor een lijnlast qz, kan worden afgeleid door de term met de laagste afgeleide (tweede afgeleide) tweemaal te integreren. Zo wordt vermeld in mijn colleges. Dit zou de volgende oplossing moeten geven:
 
Wp(x) = qz*x^2 / 2 alpha^2 .
 
Ik vraag me echter af hoe men hierop komt. Welke term wordt geïntegreerd?
 
Hopelijk kan iemand mij hierbij helpen.
 
 

[EvilBro]

\(\frac{d^4 w}{dx^4} + \alpha^2 \cdot \frac{d^2 w}{dx^2} = q_z\)

Veronderstel nu dat er een functie w(x) bestaat waarvan de vierde afgeleide gelijk is aan nul. Je houdt dan over:

\(\alpha^2 \cdot \frac{d^2 w}{dx^2} = q_z\)

dus:

\(w(x) = \int \int \frac{q_z}{\alpha^2} dx dx\)