transcendentale waarden van een functie

[Math-E-Mad-X]

De verzameling der transcendente getallen heeft dezelfde kardinaliteit als de verzameling der reële getallen (want het verschil tussen beide verzamelingen is aftelbaar).
 
Voor de kardinaliteit van de verzameling der reële getallen geldt (quote van wikipedia):
 
 

De continuümhypothese stelt dat er geen kardinaalgetal bestaat tussen de kardinaliteit van de reële getallen en de kardinaliteit van de natuurlijke getallen.
De continuümhypothese kan binnen het algemeen aanvaarde Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, tenminste indien deze axiomatische verzamelingenleer consistent is, noch worden bewezen noch worden verworpen.

 
Dus als we de continuümhypothese aannemen dan heeft de verzameling der transcendente getallen de kardinaliteit aleph-1. 

[descheleschilder]

Waarom is het verschil tussen de reële getallen en de transcendente aftelbaar? De transcendente getallen vormen weliswaar een deelverzameling van de reële getallen, maar is dat een voorwaarde voor aftelbaarheid?
Bovendien is de continuümhypothese een niet te bewijzen aanname, dus de aanname is niet zeker.

[Math-E-Mad-X]

Waarom is het verschil tussen de reële getallen en de transcendente aftelbaar? 

 
Ik bedoel dat de verzameling van algebraïsche getallen aftelbaar is. De transcendente getallen zijn precies de reële getallen die niet algebraïsch zijn.
Stel dat de verzameling der transcendente getallen ook aftelbaar zou zijn. Dan zou de verzameling van reële getallen precies de vereniging van twee aftelbare verzamelingen zijn, en dus zou de verzameling reële getallen aftelbaar zijn. Omdat we weten dat dit niet het geval is kunnen we concluderen dat de verzameling der transcendente getallen overaftelbaar moet zijn.

Bovendien is de continuümhypothese een niet te bewijzen aanname, dus de aanname is niet zeker.

 
Klopt. De vraag welke kardinaliteit de verzameling der transcendente getallen precies heeft hangt af van of je de continuümhypothese wil aannemen of niet.
 
Maar wat we wel altijd zeker weten is dat deze verzameling in elk geval overaftelbaar is.

[descheleschilder]

Dat is duidelijke taal!
Nog een laatste vraag. Wat geeft de index van een kardinaalgetal (aleph-getal) aan? Kan het zo zijn dan een aleph-n getal bijvoorbeeld toegekend wordt aan vectoren met n (reële of complexe) coördinaten? Of een aleph-mxn getal aan een mxn matrix (weer met reële of complexe elementen)?
Groetjes, dss