Rotatie en baanresonantie inhomogene massa

[Michel Uphoff]

Rotation 1353 keer bekeken

Een bolvormige massa is niet homogeen (zie het bovenaanzichtschetsje; de rode cirkel verbeeldt een gebied met hogere dichtheid), en zal dus niet roteren rond Gc, het geometrisch centrum maar rond het massacentrum (Mc, blauwe stip). De massa draait in een perfecte cirkelbaan rond een zwaartekrachtscentrum (een planeet bijvoorbeeld) onderin de schets. Het gravitatieveld van die massa wordt sterker naarmate het genaderd wordt, er is dus een zwaartekrachtsgradiënt (verbeeld door de steeds dichter bijeengepakte equipotentiaallijnen).
 
Redenatie: Punt A bevindt zich in getekende stand dieper in de gravitatieput, materie in de directe omgeving wordt relatief sterker aangetrokken. Na een halve rotatie van de massa bevindt punt A zich juist verder weg van de gravitatiebron binnen zwakkere equipotentiaallijnen en wordt relatief minder sterk aangetrokken. Het lijkt er op dat de gehele massa 'onderuit' getrokken wordt als A zich dichtbij het zwaartekrachtscentrum bevindt, en 'terugveert' als A zich aan de tegenovergestelde zijde bevindt. Ik ga van een onvervormbare massa uit.
Vraag: Blijft het massacentrum exact op de cirkelvormige baan, of beschrijft het kleine epicykels of lissajous figuren rond de omloopcirkel ?
 
Redenatie: Stel, de massa is nu wel vervormbaar. Door vervormingen a.g.v. getijdenwerking wordt kinetische energie omgezet in warmte, en dus zal de rotatiesnelheid van de massa geleidelijk afnemen, totdat er een 'tidal lock' ontstaat waarbij de rotatieduur gelijk is aan de omloopduur (andere eventuele baanresonantieverhoudingen even buiten beschouwing gelaten).
Vraag: Is er een voorkeursstand, bijvoorbeeld die zoals in het schetsje waarbij de (nu enigszins ellipsoïde) bol zo ver mogelijk in de gravitatieput steekt, en dus Mc zich altijd verder van het zwaartekrachtcentrum (de planeet) onderin bevindt dan Gc?
 
Anders gezegd: Stel ik laat een smidshamer rond zijn zwaartepunt roteren in een baan rond de Aarde, rotatie is vergelijkbaar met het schetsje. Ik stel verder, dat door vervormingen en energieverlies agv getijden de hamer steeds trager gaat roteren. Wijst nu bij de uiteindelijke 1:1 baanresonantie de steel van de hamer naar de Aarde?
 
Achtergrond: dit en de er op volgende berichten.

[Anton_v_U]

Stel ik laat een smidshamer rond zijn zwaartepunt roteren in een baan rond de Aarde, rotatie is vergelijkbaar met het schetsje. Ik stel verder, dat door vervormingen en energieverlies agv getijden de hamer steeds trager gaat roteren. Wijst nu bij de uiteindelijke 1:1 baanresonantie de steel van de hamer naar de Aarde?

 
Ja, dat lijkt me wel. Als de steel van de hamer (een beetje schuin) naar buiten wijst, ondervindt de hamer een koppel dat het zware stuk naar buiten wil laten draaien. Vergelijk het met een centrifuge.
 
De stabiele evenwichtsstand is met de steel naar binnen (de steel naar buiten is een labiel evenwicht, ook dan is er geen koppel).  De rotatie van de hamer om zijn as wordt trager door getijde-wrijving en het wordt uiteindelijk een (gedempte) trilling.
 
Bij een homogene bol als een maan die rond een planeet draait, wordt de bol door getijde krachten en elasticiteit een beetje een ellipsoïde waarvan de lengteas steeds de richting van de getijde kracht aanneemt en dus vervormt en daarom frictie ondervindt totdat tidal locking optreedt waarbij de rotatie van het object om zijn eigen as de rotatie om het hemellichaam volgt - dan verschuift de vervorming niet langer. 
 
Het verschil tussen een homogene bol en een hamer is dat een homogene bol geen voorkeursrichting heeft voor tidal locking (symmetrie: elke stand is een evenwichtsstand) en een hamer wel.
 
Ik verwacht dat het zwaartepunt een cirkelbeweging beschrijft (en dus het geometrische zwaartepunt van een inhomogeen object een soort spiraal op de cirkelbeweging als het ding rond zijn as beweegt) Het argument is nogal gevoelsmatig - en dus niet zo betrouwbaar:
 
Stel dat je een touwtje vastmaakt aan het zwaartepunt van een inhomogeen/asymmetrisch object en je slingert het rond en stel dat het object tegelijk vrij om zijn eigen as kan draaien, dan lijkt me dat je aan de spankracht in het touwtje niet merkt of het ding ook nog eens om zijn eigen as draait of niet.

[Michel Uphoff]

Stel dat je een touwtje vastmaakt aan het zwaartepunt van een inhomogeen/asymmetrisch object en je slingert het rond en stel dat het object tegelijk vrij om zijn eigen as kan draaien, dan lijkt me dat je aan de spankracht in het touwtje niet merkt of het ding ook nog eens om zijn eigen as draait of niet.

 
In de dagelijkse praktijk niet, maar als er sprake is van een sterke gravitatiegradiënt waardoor de steel van een enorme hamer tijdens de rotatie significant dieper in de gravitatieput duikt dan de kop (vergelijk de spaghettification bij een black hole waarbij de voeten van de astronaut hem door de sterkere gravitatie naar beneden trekken), dan lijkt mij dat het massacentrum zich zal willen verplaatsen zoals ik beschreef.
 
Waar voor mij de puzzel ligt is de in ieder geval ogenschijnlijke tegenstrijdigheden die ik lees over de Maan:
 
Enerzijds wordt beweerd, dat de Maan enigszins ei-vormig is en met de smalle punt naar de Aarde wijst. Dat lijkt logisch als ik de analogie van de hamersteel in gedachten neem. Logischerwijs zou je dan het massacentrum van de Aarde af gezien achter het geometrisch centrum verwachten, (zoals in mijn schetsje boven) zodat er een stabiel evenwicht is.
 
Anderzijds echter lees ik dat het massacentrum van de Maan ongeveer 2 km dichter bij de Aarde ligt dan het geometrisch centrum. De verklaring hiervoor is dat in de maria grote dichtheidsconcentraties zijn, die aan de achterzijde minder voorkomen terwijl er aan de achterzijde ook het enorme Aitken basssin is. Verder heeft de korst een lagere dichtheid en is aan de voorzijde dunner dan aan de achterzijde. Dit lijkt allemaal inderdaad te wijzen op een massacentrum vóór het geometrisch centrum, van de Aarde af gezien. Grosso modo ligt de achterzijde ongeveer 2 km hoger tov het geometrisch centrum. Dit alles is in overeenstemming met de data van Grail en Lola (klik).
 

maan 1350 keer bekeken

Links de Aarde. G is de verticaal door het geometrisch centrum, M de verticaal door het massacentrum. In beide gevallen wijst de bult van de Aarde af. Bovenstaande verenigen tot een consistent beeld lukt mij niet. De Maan lijkt dus niet met de 'punt van het ei' naar de Aarde te wijzen (vanuit het geometrisch centrum gezien), maar ook niet met die 'punt van het ei' t.o.v. het massacentrum, want dat ligt immers nog twee kilometer dichterbij de Aarde.
 
In beide gevallen wijst de 'steel van de hamer' naar achteren, hetgeen een labiel evenwicht lijkt.
 
Met een sterk vereenvoudigd model moet er toch uit te zoeken zijn wat wel en niet waar kan zijn lijkt mij. Natuurlijk zijn er ook andere factoren in het spel zoals de ellipsvormige baan, gravitatieverstoringen door Zon en planeten, maar die kunnen we mogelijk wel buiten beschouwing laten.
 
Maak ik ergens een redenatiefout? Zo nee, zou die eventuele verplaatsing van het massacentrum (die epicykels of lissajous figuren) een verklaring kunnen bieden?

[tempelier]

Ik vroeg me dit af:
 
Ik ga uit van je eerste tekening en onderstel dat een hemellichaam zo geschapen wordt
met twee bollen en er van buiten af niets op werkt.
Dan zal het gaan deformeren maar hoe zal dan de evenwichts toestand zijn?
 
Pas daana zou er een externe massa op los gelaten moeten worden lijkt me.
 
Dit is zoals ik het zou proberen aan te pakken.

[Jan van de Velde]

 
Anderzijds echter lees ik dat het massacentrum van de Maan ongeveer 2 km dichter bij de Aarde ligt dan het geometrisch centrum. 

Ik weet niet waar je dat las, maar als dat uit een bericht van mij komt is dat geen betrouwbare bron 8-[   . Ik lees op diverse plaatsen, die ik als betrouwbare bronnen beschouw, dat dat massamiddelpunt ongeveer 2 km uit het geometrisch midden ligt. Dat dat dan richting aarde zou zijn was iets dat ik, achteraf puur op intuïtie, als logisch beschouwde. 
 
Ik denk dat we dit moeten gaan benaderen door te denken in extremen. 
Bijvoorbeeld, gesteld dat de maan bestaat uit twee even zware, enorm dichte, vrij kleine bollen (relatief gezien dus puntmassa's) verbonden met een heel lange, stijve, massaloze staaf. 
Dat geheel draait om de aarde in een of andere stand t.o.v. die aarde. Ze hebben door hun verbinding gedwongen beiden dezelfde hoeksnelheid. Zie ik het dan goed dat als de staaf recht naar de aarde wijst, haaks op de "maan"baan (en de ene bol dus een te wijde en de andere een te krappe baan heeft )  dit geen stabiele situatie is en de zaak zó zal draaien dat beide bollen tenslotte in eenzelfde baan terecht zullen komen (en dus met de stok evenwijdig aan een raaklijn aan de baan)? Verondersteld dat er demping optreedt uiteraard.

[Michel Uphoff]

De uitspraak dat het massacentrum 2 km dichter bij de Aarde ligt ben ik op diverse plaatsen tegengekomen, helaas waren de bronnen niet verifieerbaar. Een goede bron zou gewaardeerd worden. Jouw 'denk in extremen' gedachte heb ik ook gevolgd. Mijn voorlopige conclusies zijn:
 
Als de bollen verschillende massa's hebben, het massacentrum ligt dus niet midden op de staaf, dan wordt het interessant. Net even wat in een calculator getikt, en als ik het goed heb zijn dit de uitkomsten voor een staaf van 1001 km lang met aan de ene zijde een massa van 1000 kg en aan de andere zijde 1 kg. De staaf is volkomen rigide en massaloos. De hoogte van het massacentrum, de rode stip, is 8000 km boven het centrum van de aarde (even op de afb. klikken):
 

gravitatiekrachten niet homogene massa 1349 keer bekeken

 
We hebben dan 3 uitersten:
stand A is labiel. Een minimale schommeling zou uiteindelijk tot een uitlijning van de lange as richting zwaartekrachtcentrum aarde leiden.
stand B is stabiel. Nu wordt de grootste kracht op het geheel uitgeoefend.
stand C is metastabiel. De kracht is kleiner dan bij B, maar (verrassend) groter dan bij A.
 

meta-in-stabiel 1349 keer bekeken

 
M.a.w. als ik het goed zie, zijn er twee stabiele toestanden, en de situatie van de Maan komt overeen met de metastabiele situatie C.
 
Zou dit de oplossing zijn?
 

dit geen stabiele situatie is en de zaak zó zal draaien dat beide bollen tenslotte in eenzelfde baan terecht zullen komen (en dus met de stok evenwijdig aan een raaklijn aan de baan)?

 
Volgens mij niet. Ook voor even zware bollen (waarbij het massacentrum dus precies in het middel van de staaf ligt), geldt dat de grootste gravitatiekracht wordt uitgeoefend als de staaf met zijn lengteas naar het zwaartekrachtscentrum wijst en een van de twee bollen dus zo dichtbij mogelijk is.

\(g=\frac{G.M}{r^2}\)

G.M in de gravitatieformule kan je bij dezelfde planeet beschouwen als een constante, dus dan is voor de uitgeoefende kracht alleen de som van het reciproke kwadraat van de stralen r van belang (1/6² + 1/4² is groter dan 1/5² + 1/5²). Twee gelijke bollen aan een staaf die een raaklijn is aan de omloopbaan, is dus m.i. ook een labiel evenwicht.
 
Er zijn meen ik ook pointing experimenten ontworpen op basis van dit principe, maar die kan ik nu helaas niet vinden. Bij een homogene bol is er geen voorkeursstand, maar natuurlijk nog wel tidal locking bij eventuele vervorming.

[Michel Uphoff]

@Tempelier: Dan zal het gaan deformeren maar hoe zal dan de evenwichts toestand zijn?

 

Wellicht is het volgende scenario realistisch:

 

Toen de Maan veel dichter bij de Aarde stond, trad door de heftige getijdenwerking al vrij snel de 1:1 baanresonantie op, met de daarbij behorende wijder wordende baan (en afname van de rotatiesnelheid van de Aarde). De Maan was zo vroeg nog grotendeels vloeibaar. De gravitatiekracht die de Aarde op de voorkant van de Maan uitoefent is groter dan aan de achterzijde, en mogelijk is dit een verklaring voor de dunne korst aan de voorzijde, omdat zich daar zwaarder nog vloeibaar mantelmateriaal ophoopte.

Ik had verwacht, dat een massaconcentratie aan de voorzijde in Maan in onbalans zou brengen (de hamer analogie), maar als ik bovenstaande goed uitgerekend hebt, is deze situatie metastabiel, en is daarom de Maan niet 'geflipt'.

 

Waarschijnlijk is de Maan, die toen hij dichter bij de Aarde stond een duidelijke ellipsoïde moet zijn geweest, tijdens het verwijderen weer meer bolvormig geworden. De Maan is een stuk 'ronder' dan de Aarde.
 

parameter	Moon	Earth	Ratio (Moon/Earth)
Equatorial radius (km)	1738.1	6378.1	0.2725
Polar radius (km)	1736.0	6356.8	0.2731
Volumetric mean radius (km)	1737.1	6371.0	0.2727
Ellipticity (Flattening)	0.0012	0.00335	0.36

[/size]

[jkien]

Volgens mij is het tidal lock net zo stabiel als je de maan 180 graden draait. Sommige onderzoekers menen dat de maan al een keertje 180 graden geflipt is, vier miljard jaar geleden. De maan zou toen uit zijn tidal lock geschopt zijn door de inslag van een object, en daarna teruggekeerd zijn naar een tidal lock waarbij de oude voorkant de nieuwe achterkant geworden is. Dat zou verklaren waarom er op de oostelijke zijde van de maan een overschot van oude inslagkraters is.
 
Flip-Flop: Did the Moon Do a Turnabout?

[Jan van de Velde]

Waarschijnlijk is de Maan, die toen hij dichter bij de Aarde stond een duidelijke ellipsoïde moet zijn geweest, tijdens het verwijderen weer meer bolvormig geworden. De Maan is een stuk 'ronder' dan de Aarde.

 
Is dat niet eerder de verkeerde rondheid die we nu aan het vergelijken zijn? Het gaat denk ik niet om polaire vs equatoriale stralen, maar om de vorm van die equator op zich: hoe sterk wijkt dié af van de cirkelvorm. 
 

Net even wat in een calculator getikt, 
 

Hier lijk je te berekenen hoe een in rechte lijn naar de aarde vallende "halter" zich zou richten tijdens die val, niet hoe die halter zich gaat gedragen in een baan rond de aarde. Maar je veronderstellingen kunnen dan toch wel kloppen (wat ik intuïtief vreemd vind, maar ja, mijn intuïtie heeft me wel vaker bij de neus)): Bijvoorbeeld in stand B (waarbij ik de aarde onder de tekening veronderstel) is de gewenste hoeksnelheid van de kleine massa een stuk groter dan hij kán zijn vanwege de vaste verbinding met de grote massa. Door deze gedwongen te lage hoeksnelheid moet de kleine massa dus naar de aarde gaan hangen.
Andersom, met een gedwongen te hoge hoeksnelheid van de kleine massa "in de buitenbaan" zou deze dus ook in een buitenbaan moeten blijven, en is er in stand A inderdaad maar een klein tikje nodig om de kleine massa hetzij stand A hetzij stand B te laten opzoeken. 
 
Je energietoestandsplaatje lijkt dus ook correct, en zowel stand B als C lijken dan plausibel, en zo ook die flip-floptheorie. Met alleen klassieke mechanica gaan we dus niet kunnen bepalen of een van het geometrisch centrum afwijkend massamiddelpunt naar de aarde toe is gericht, of juist er van af. Het lijkt een kwestie van geluk in welke positie hij "lockt" vanuit een rond de as draaiende beweging.

[Michel Uphoff]

Als mijn wel erg gesimplificeerde modelletje van de staaf met twee verschillende massa's enigszins in de buurt van de realiteit komt, dan is er wel verschil tussen de huidige lock en die bij een 180 graden gekeerde Maan. Maar metastabiel en stabiel zijn in dit verband natuurlijk erg relatieve begrippen. Een fors schampshot van een zwaar lichaam, en de Maan draait weer een tijdje.
 
Waar het mij om ging is de tegenstrijdigheid in allerhande berichten, waarvan die waarin de Maan met een punt richting de Aarde wijst m.i. naar de prullenbak kunnen. Zo een uitsteeksel richting Aarde is niet in overeenstemming met de data van Lola en Grail en kennelijk ook niet nodig voor een stabiele 1:1 resonantie.
 
Er zijn wat tegenstrijdige hypotheses die het al dan niet uit de resonantie flippen van de Maan waarschijnlijker en minder waarschijnlijk maken, maar die kunnen we beter in het astronomie forum bespreken.
 

Het lijkt een kwestie van geluk in welke positie hij "lockt" vanuit een rond de as draaiende beweging.

 
Dat lijkt mij ook.
 
Ik zal nog eens speuren of ik detailinformatie kan vinden over de 'rondheid' van de maan.

[Jan van de Velde]

Waar het mij om ging is de tegenstrijdigheid in allerhande berichten, waarvan die waarin de Maan met een punt richting de Aarde wijst m.i. naar de prullenbak kunnen. Zo een uitsteeksel richting Aarde is niet in overeenstemming met de data van Lola en Grail en kennelijk ook niet nodig voor een stabiele 1:1 resonantie.

Een "uitsteeksel" misschien niet, maar een perfecte en homogene bol, zelfs een sferoïde, zal toch nooit een tidal lock vertonen om tot die 1:1 resonantie te komen?

[Michel Uphoff]

Uiteindelijk is het (los van een voorkeurstand bij de tidal lock) een kwestie van verlies van rotatie-energie (en toename van baanenergie) tot 1:1 resonantie is bereikt.
 
Alleen als de Maan of welk object dan ook, de vorm doet er niet toe, volkomen onvervormbaar zou zijn, kan er geen energie gedissipeerd worden, maar met de diameter en huidige afstand van de Maan is dat ondenkbaar, daarvoor zijn de getijdekrachten te groot.
 
Kleine objecten op grote afstand (planetoïden en verre manen bijvoorbeeld) vervormen zo weinig door de geringe gradiënt (gevolg van diameter en afstand) dat ze vrijwel geen rotatie-energie verliezen. Grote objecten daarentegen zullen makkelijk vervormen en in een tidal lock raken, zoals vrijwel alle grotere manen in het zonnestelsel.
 
De enige uitzondering van een wat grotere maan redelijk dicht bij haar planeet die niet in baanresonantie is, is Hyperion. Zijn fors excentrische baan en Titan in de buurt zorgen ervoor dat hij daar niet in terecht kan komen, en mede door de onregelmatige vorm een buitengewoon chaotische rotatie vertoont.

[Jan van de Velde]

We praten langs elkaar heen. Jij bent nu weer praktisch-astronomisch aan het redeneren, waar we het juist naar klassieke mechanica hebben verplaatst om de principes op een rijtje te krijgen.
 
OK, het zijn die getijdenkrachten die in de praktijk door vervorming  inwendige frictie veroorzaken, en daarmee verlies van rotatie-energie. Maar laten we nu eens een sferoide maan veronderstellen (geen vervorming) die tóch afremt (voor mijn part een paar vulkanen met horizontale kraters die een paar miljard jaar als een soort raketmotoren materiaal uitbraken tegen de rotatierichting in).
 
In zo'n geval ontstaat er toch geen tidal lock? Daarvoor heb ik toch een vervormd of qua dichtheidsverdeling asymmetrisch lichaam nodig?  Dus toch een "punt" aan de maan? En als die punt niet uitwendig is, dan toch minstens die inwendige scheve massaverdeling?

[Michel Uphoff]

Wat verwarrend kan zijn: Ook een zeer onregelmatig gevormd voorwerp, of een voorwerp met sterke dichtheidsverschillen zal indien niet continue vervormd ook niet in een tidal lock terecht komen.

Vervormen is key, niet de oorspronkelijke of huidige vorm. Een oorspronkelijk perfect rond hemellichaam is dat niet meer in een gravitatieveld, en andersom kan je fantaseren over een niet sferisch lichaam dat in een gravitatieveld juist meer rond wordt; in beide gevallen gaat er rotatie-energie verloren.

 

Dus toch een "punt" aan de maan? En als die punt niet uitwendig is, dan toch minstens die inwendige scheve massaverdeling?

 
Ja, een punt, een kuil, of massa concentraties dat maakt niet uit. De punt van de Maan (of wat er nog van over is) kennelijk van de Aarde af, terwijl de inwendig scheve massaverdeling dat effect nog wat versterkt. De hamer wijst met zijn steel naar buiten ipv. naar binnen en dat blijkt ook stabiel.

[jkien]

Ik denk dat het tidal lock van de maan bereikt is als de hoofdas met het grootste traagheidsmoment naar de aarde wijst, zonder dat het uitmaakt of de massaconcentratie of de uitstulping het dichtste bij de aarde is. De maan is een inhomogene aardappel die transleert (zijn baan om de aarde) en roteert (om zijn eigen zwaartepunt). De rotatie van de maan verandert als de zwaartekracht van de aarde een moment oplevert. Het moment is

\(\tau = 3 G M / R^5 \vec{R} \times (I \vec{R}) \)

Belangrijk aan die formule is dat de massadistributie er alleen in zit in de vorm van de traagheidsmomenttensor I. Het moment is nul als een van de drie hoofdassen van de aardappel naar de aarde wijst.(1)  Het moment blijft hetzelfde als je de aardappel 180° draait.