[Meet- en regeltechniek] PI-regelaar ω 0dB

[Mirte1]

Beste,
 
Ik zit vast met een opgave over PI-regelaars. De opgave is:
Regel het volgende systeem met een PI-regelaar. Neem de bandbreedte voor het gesloten
systeem gelijk aan de natuurlijke eigenpulsatie van het open systeem. Ontwerp de 
PI-regelaar zodanig dat de FM gelijk is aan 40°. Met TF systeem = 2/(p^2+0.8*p+1)
 
De bandbreedte voor het gesloten systeem zou de ω moeten zijn waar het open systeem door 0 dB gaat. Dit zou volgens de oplossing 1 r/s moeten bedragen.
 
Indien ik dit echter p vervang door i*ω en uitreken, krijg ik iets anders namelijk sqrt(3).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=20log10%28abs%282%2F%28-x%5E2%2B0.8*i*x%2B1%29%29%29+%3D+0+and+y+%3D+abs%28x%29
 
Dus ik veronderstel dat ik de transferfunctie moet herschrijven. Maar ik weet niet hoe ik dit moet doen, zou iemand mij op weg willen helpen?
 
Hartelijk dank! 

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

verplaatst naar praktische wetenschappen in de hoop op meer reactie

[Anton_v_U]

Bedoel je met FM de fasemarge?
 
Je eerste stap kan ik niet volgen. Wordt met TF systeem niet de overdrachtsfunctie van het open systeem, het systeem dat moet worden geregeld bedoeld? 
 
Toch even over het bepalen van de bandbreedte van H(s):
H(s) heeft de karakteristiek van een laagdoorlaatfilter met H(0)=2.
Ik zie dat je de bandbreedte van H(s) bepaalt door

\(\omega \)

op te lossen uit H(j

\(\omega \)

) =1 (die log mag weg) en dan van de complexe

\(\omega \)

 de norm te nemen. Misschien begrijp ik het niet maar dit lijkt me niet correct. Als je s vervangt door j

\(\omega \)

 dan is 

\(\omega\)

reëel. Dat is nou net de bedoeling: H(j

\(\omega \)

) geeft de versterkingsfactor en faseverschuiving voor sinusvormige ingangssignalen met hoekfrequentie

\(\omega \)

 in stationaire toestand.
 
Ik kan me herinneren dat voor de bandbreedte van een laagdoorlaatfilter de frequentie wordt genomen waarbij de versterkingsfactor |H(jw)| met 3dB is afgenomen ten opzichte van |H(0)|. Dit is te bepalen uit: 
 

\(\left | H(j\omega ) \right |= \frac{2}{\sqrt{(\omega ^{2}-1)^{2}+0,8^{2}}}\)

 
 
De eigenfrequentie van de gegeven overdrachtsfunctie H(s) volgt uit inverse Laplace transformatie: Bepaal de polen van de noemer: p_1,2.Schrijf:
 

\(H(s)=\frac{a}{(s-p_{1})(s-p_{2})}\)

 
De polen (nulpunten van de noemer) zijn: p_1,2=a [plusmin] bj, dan is de bijbehorende inpulsrespons:
 

\(h(t)=e^{-at}cos(bt+\theta)\)

De polen zijn:  p_1,2= -0,4 [plusmin]0,917j 
De impulsresons heeft dus de vorm:

\(h(t)=e^{-0,4t}cos(0,917t+\theta )\)

 
Nu ben ik even kwijt of je voor de eigenfrequentie de frequentie van de gedempte trilling moet nemen ( 

\(\omega\)

=0,917 rad/s) of de frequentie met de grootste versterkingsfactor, dus waarvoor |H(j 

\(\omega\)

)| maximaal is ( 

\(\omega\)

=1 rad/s). 
 
Tot zover mijn input. Om meer te zeggen over PID regelaars en bijbehorende fasemarge moet ik in m'n boek duiken en ik heb al gezien dat het me meer dan een uurtje kost om het weer op te halen.