Gevraagd 4d, Gebruik de formule van Parseval om
\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}\)
te bepalen.
Wat heb ik gedaan, (sammenvattend wat ik denk dat belangrijk is voor de vraag):
1. Ik heb teneerste bewezen dat de verzameling zeg g, orthogonaal is:
Orthogonaal als <f,g>=0 met h(x)=cos(kx) en g(x)=cos(mx) met
\( n \neq m \)
\( \begin{align} <f,g>=\int_0^\pi \mathrm{h(x)g(x)}\,\mathrm{d}x=\int_0^\pi \mathrm{cos(kx) cos(mx)}\,\mathrm{d}x=0 \end{align} \)
voor iedere \(n \neq m\)
2. De fourier coefficienten bepaald, met behulp van de norm.
\(\begin{align*} ||cos(kx)||\end{align*} \)
voor k=1,2,3,...
\( \begin{align*} ||cos(kx)|| = \sqrt{<cos(kx),cos(kx)>}=\int_0^\pi \mathrm{cos(kx) cos(kx)}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{1}{2}\pi} \end{align*} \)
\( \begin{align*}||cos(kx)|| \end{align*} \)
voor k=0, cos(0)=1
\( \begin{align*} ||1||=\sqrt{<1,1>}=\sqrt{\pi} \end{align*} \)
en
\( \begin{align*} c_k=\frac{<f(x),g(x)>}{<g(x),g(x)>} \end{align*} \)
resulterend in \( \begin{align*} a_0=\pi^2/3 \end{align*} \)
en \(\begin{align*} a_n=\frac{2.(-1)^k}{k} \end{align*} \)
=> fourierreeks: \(\begin{align*} F(x)= \frac{\pi^2}{3}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{4 (-1)^k}{k}cos(kx) \end{align*} \)
voor k=1,2,3,...3. Formule van Parseval
\( \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}|c_k|^2||\phi_k||^2=||f||^2 \end{align*} \)
Nu is er gevraagd, gebruik de formule van Parseval om \( \begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} \end{align} \)
te bepalen. Hoe doe je dat? moet ik de sommatie gewoon ergens invullen? of moet ik iets gaan uitwerken? Het antwoord is mij wel bekend \( \begin{align*} \frac{\pi^4}{90} \end{align*} \)
. Sammenvattend: hoe kom je aan dit antwoord?Alvast bedankt voor de moeite.