Rotaties

[Th.B]

Ik ben op dit moment bezig met mechanica van rotaties (traagheidsmomenten, hoeksnelheden e.d.) en het rekenwerk gaat me goed af, maar ik heb nog wel een paar vragen.
 
-Stel dat je een voorwerp een hoeksnelheid met de klok mee geeft en hem dan op een horizontaal vlak legt en laat rollen. Dan lijkt het mij dat er wrijving is, anders zou het voorwerp niet rollen. Betekent dat dan dat een object in rolbeweging altijd tot stilstand komt wanneer het op een horizontaal vlak beweegt?
 
-Stel dat de kinetische wrijvingscoëfficiënt mu is. De wrijvingskracht is dan mu x Fz. De vertraging van het object zou dat mu x g zijn, onafhankelijk van het traagheidsmoment van het voorwerp. Klopt dit?
 
-Als een object rolt, is dan de horizontale snelheid van het massamiddelpunt altijd gelijk aan de rotatiesnelheid van een punt op het uiteinde?
 
-De wrijvingskracht staat (lijkt mij) naar rechts gericht. Maar als je dan de momentenwet toepast zou de hoeksnelheid van het voorwerp juist toenemen... wat doe ik verkeerd?
 
Heel erg bedankt alvast!
 
Note: ik ben uitgegaan van een voorwerp wat cirkelvormig is, dus het maakt echt een rolbeweging. Geen stuiteren of slippen.

[Anton_v_U]

-Stel dat je een voorwerp een hoeksnelheid met de klok mee geeft en hem dan op een horizontaal vlak legt en laat rollen. Dan lijkt het mij dat er wrijving is, anders zou het voorwerp niet rollen. Betekent dat dan dat een object in rolbeweging altijd tot stilstand komt wanneer het op een horizontaal vlak beweegt?

 
Nee, die conclusie mag je niet op deze manier trekken. Om te versnellen is een wrijvingskracht nodig op het object, in jouw voorbeeld naar rechts. Dat is een schuifwrijving, als voorwerp en ondergrond glad zijn zal het voorwerp slippen. Als het voorwerp niet meer slipt, is er geen dynamische schuifwrijving meer. Het voorwerp versnelt dan niet meer dus is er ook geen statische wrijving. Rolwrijving is wat anders. Door vervorming gaat energie verloren, er ontstaat warmte en het voorwerp vertraagt. Hetzelfde effect als een rolwrijvingskracht. 
 
 
 

-Stel dat de kinetische wrijvingscoëfficiënt mu is. De wrijvingskracht is dan mu x Fz. De vertraging van het object zou dat mu x g zijn, onafhankelijk van het traagheidsmoment van het voorwerp. Klopt dit?

 
Nee, als het voorwerp eenmaal rolt zonder te slippen is er geen sprake meer van schuifwrijving.
 

-De wrijvingskracht staat (lijkt mij) naar rechts gericht. Maar als je dan de momentenwet toepast zou de hoeksnelheid van het voorwerp juist toenemen... wat doe ik verkeerd?

 
 
Goede vraag. Zodra je het draaiende voorwerp op een plat vlak zet, zal het gaan versnellen. De kracht om het te laten versnellen wordt geleverd door de dynamische schuifwrijving, het voorwerp zal dus voor kortere of langere tijd slippen. Instantaan versnellen tot de eindsnelheid is niet mogelijk want daar is een oneindige kracht voor nodig en die is altijd groter dan de maximale wrijvingskracht. 
 
Stel nu dat het warmteverlies door schuifwrijving te verwaarlozen is. Het voorwerp gaan rollen. Het heeft eerst alleen maar rotatie energie:  (1/2 I w₁ ²) en als het rolt heeft het  rotatie energie (1/2 I w₂²) + translatie energie (1/2 mv²). Hoeveel van wat wordt bepaald uit de voorwaarde dat het object niet slipt, wr=v 

[Anton_v_U]

De wrijvingskracht staat (lijkt mij) naar rechts gericht. Maar als je dan de momentenwet toepast zou de hoeksnelheid van het voorwerp juist toenemen... wat doe ik verkeerd?

 
Nog even een aanvulling, hopelijk is het onderstaande te volgen. Situatie: een rondtollende cilinder met traagheidsmoment en massa leg je op een horizontaal vlak. De cilinder tolt met de klok mee, hij zal dan naar rechts gaan rollen door wrijving met de ondergrond (zonder wrijving blijft hij slippend rondtollen zonder horizontale snelheid).
 
Je kunt in stappen beredeneren wat er gebeurt (1 tm 3):
 
(1) De cilinder heeft nog geen snelheid maar wel hoeksnelheid. Door de traagheid van de cilinder kan hij niet onmiddellijk snelheid krijgen, hij zal dus slippen op de ondergrond (zie opm. *). De onderkant van de cilinder slipt naar links.
 
(2) De onderkant slipt naar links, dus is er een dynamische schuifwrijving naar rechts. Deze heeft invloed op zowel translatie (rechtlijnige beweging) als rotatie.
 
a. Deze wrijvingskracht veroorzaakt een moment tegen de klok in (tov de draaias in het midden), de hoeksnelheid zal dus afnemen. De snelheid waarmee de hoeksnelheid afneemt (negatieve hoekversnelling) is omgekeerd evenredig met het traagheidsmoment. Zo werkt massatraagheid bij rotatie.
 
b. Deze wrijvingskracht veroorzaakt een kracht op het object naar rechts. De lineaire snelheid zal; dus toenemen naar rechts. De snelheid waarmee deze snelheid toeneemt (lineaire versnelling) is omgekeerd evenredig met de massa. Zo werkt massatraagheid bij translatie.
 
(3) Naarmate de snelheid naar rechts toeneemt, neemt het slippen af. Tijdens het slippen is de schuifwrijving (ongeveer) constant. Op het moment dat de cilinder niet meer slipt is v = wr. Op dat moment stopt de versnelling en de hoekversnelling want er is geen kracht meer.De cilinder rolt eenparig verder als er verder geen wrijving is. Uit de bewegingsvergelijkingen voor rotatie en translatie valt af te leiden op welk moment, op welke plaats en bij welke snelheid dat gebeurt, maar als je het uit wilt rekenen, is het gemakkelijker te doen met de wet van behoud van energie en de aanname dat de lineaire versnelling eenparig is (constante schuifwrijvingskracht).
 
*) Zonder slippen is niet mogelijk vanwege de massatraagheid van het object, tenzij de cilinder en / of de ondergrond elastisch vervormen waarbij de veerkracht gedurende korte tijd de lineaire versnelling kan leveren die het voorwerp laat versnellen tot de eindsnelheid waarbij het ding zonder slippen verder rolt.
 
Nog even over het effect van rolwrijving die al optreedt tijdens de periode van lineaire versnelling 1 tm. 3 maar daar buiten beschouwing is gelaten omdat het dan nodeloos ingewikkeld wordt. De cilinder rolt zonder te slippen over het oppervlak:
 
(4) Rolwrijving wordt veroorzaakt door vervorming van wiel en ondergrond.  Door trilling en wrijving in het materiaal ontstaat warmte. Die warmte gaat ten koste van de bewegingsenergie. Het effect is in tegenstelling tot schuifwrijving niet aan te geven met een krachtpijl onderaan het wiel want er is tegelijk een lineaire vertraging (dat suggereert kracht naar links op het wiel) en een hoekvertraging (suggereert een kracht naar rechts). Dat komt doordat rolwrijving niet een  kracht is met een aangrijpingspunt en een richting maar een dissipatie van energie in het wiel en in de ondergrond die tegelijk ten koste gaat van zowel translatie energie als rotatie energie waarbij de verhouding wordt bepaald door het feit dat het ding blijft rollen. Je kunt de rolwrijving in deze situatie een grootte geven met de relatie: dE = F.ds. Het totale energieverlies (rotatie en translatie) per eenheid van lengte is de kracht.
 
Gewoonlijk wordt bij berekeningen met rolwrijving de rotatie energie (vanwege het traagheidsmoment van de draaiende wielen) verwaarloosd, dan mag je zoals je waarschijnlijk gewend bent de rolwrijving beschouwen als een krachtvector die aangrijpt in het zwaartepunt van het voertuig tegen de bewegingsrichting in. Voor de te leveren motorkracht bij constante snelheid blijft het kloppen ofschoon het model (krachtvector) eigenlijk niet correct is want de motor moet tegelijk het voertuig op gang houden als de wielen draaiende houden.
 
Het is niet de kracht van de motor die via de wielen op de grond werkt die het voertuig op gang houdt (dat kan helemaal niet want die kracht werkt niet eens op het voertuig), maar de reactiekracht (3e wv Newton) en dat is de schuifwrijving van de ondergrond op de wielen.

[Th.B]

Late reactie, maar toch.
 
Ik heb het idee dat ik het nu veel beter begrijp, dat was echt indrukwekkend. Met zulke kwaliteit antwoorden vormt het echt een toevoeging op mijn dictaat. Bedankt!