fourierreeks van een niet-symetrisch interval

[cyclofics]

Beste,
Ik kreeg op mijn examen een vraag waarop ik de volgende functie moest ontwikkelen in een fourierreeks van sinussen.
 
f(x)= sin(x)  voor 0< x < pi/2   en  f(x) = cos(x) voor  pi/2 <  x  < pi.
 
De standaard formule voor de fourierreeks geldt op symetrische intervallen. Maar hoe zit dit dan op niet symetrische intervallen ?
 
Is het correct om de integralen op te delen in 3 delen waarbij de eerste gaat van -pi tot 0 en de functie g(x) = 0 integreert en dan de andere 2 bestaande uit de integraal van 0 tot pi/2 van f₁ (x) = sin(x) en de integraal van pi/2 tot pi van f₂ (x) = cos(x) ?
 
thomas

[EvilBro]

Wat is volgens jou "de standaard formule voor de fourierreeks"?

[cyclofics]

Knipsel 553 keer bekeken

[Anton_v_U]

Ik zie dat de meeste bronnen de coëfficiënten geven voor periodieke functies tussen -pi en pi. Deze is al wat algemener want die geeft de coëfficiënten voor een algemene periode. Maar nog niet algemeen genoeg.
 
Omdat alle functies periodiek zijn met een periode 2L (want periodiek met 2L/n betekent ook periodiek met 2L) mag je al die integralen over een willekeurig interval met lengte 2L nemen. Er komt altijd hetzelfde uit. Ik zou hem noteren als:
 

\(a{_n}=\frac{2}{T}\int_{T}^{}. f(t)cos(n\omega t)dt\)

 
T is de periode en omega de hoekfrequentie, omega = 2 pi f = 2 pi /T (of in jouw formule 2 pi / 2L want de functie heeft periode 2L)
De T bij de grenzen van de integraal geeft aan dat je over een willekeurig interval met lengte T mag integreren.
 
Dat je in de praktijk vaak met een interval rond 0 werkt heeft er waarschijnlijk mee te maken dat veel berekeningen vereenvoudigen als je even of oneven functies hebt (alle bn resp alle an zijn dan 0)