massatraagheidsmoment berekenen van een massieve bol

[aadkr]

we stellen ons een massieve bol voor met straal =R en het middelpunt van de bol valt samen met de oorsprong van een xyz assenstesel.
laten we de z as als rotatieas nemen.
wat is nu het massatraagheidsmoment van deze bol t.o.v. de z as als rotatieas? de bol is van homogeen materiaal gemaakt en we stellen de dichtheid ge woon op

\(\rho_{bol}\)

hoe valt dit te berekenen?
het antwoord zou moeten zijn:

\(J=\frac{2}{5}m R^2 \)

 
 

[Jan van de Velde]

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/isph.html#sph3

[aadkr]

Jan, bedankt voor de prachtige site
alleen vind ik de berekening die ze daar uitvoeren erg ingewikkeld.
ik weet dat er een andere methode bestaat , die veel eenvoudiger is.
alleen kom ik daar nu niet op
zodra die methode mij weer te binnen schiet, zal ik het laten weten,
in ieder geval bedankt voor je hulp

[Th.B]

Nou, je zult toch moeten integreren lijkt me. Het wordt vooral gedaan met een methode van schijven maar het kan ook met ringen. Daar wordt het niet makkelijker op.

[Anton_v_U]

Haha, ik probeerde bolschillen te integreren en dan komt er 3/5 m R² uit. Veel gemakkelijker, dat doe je bij wijze van spreken uit je hoofd maar dat is natuurlijk helemaal fout omdat je de afstand van de rotatieas moet hebben, niet de afstand tot het middelpunt.
 
Je moet dus wel over schijven integreren en voor schijven moet je eerst ringen integreren. Volgens mij kan het in essentie niet simpeler maar als je een simpeler methode hebt wil ik 'm wel graag weten!
 
ps. dat is wel een hele mooie site zeg!

[aadkr]

3/5. m . R^2 is op zich goed , maar dan heb je het polaire massatraagheidsmoment van de bol berekent t.o.v. het middelpunt van de bol.

[Anton_v_U]

3/5. m . R^2 is op zich goed , maar dan heb je het polaire massatraagheidsmoment van de bol berekent t.o.v. het middelpunt van de bol.

 
Grappig. Ik kan me nog niet iets fysisch bij voorstellen bij een polair traagheidsmoment. In ieder geval kan in een star 3D object niet elk punt een cirkelbaan rond hetzelfde punt beschrijven. Ken jij een toepassing van het concept?

[aadkr]

sorry, Anton voor mijn late reactie.
een toepassing van het concept.
als we een vertikale massieve cilinder nemen, met straal is R en hoogte is H, en we kijken naar de vertikale symmetrieas en we nemen een punt aan op deze vertikale symmetrie as wat zich op ,laten we zeggen , 1/2.H vanaf het grondvlak bevind van de massieve cilinder ,(laten we dit punt punt A noemen) dan heeft deze cilinder wel een polair massatraagheidsmoment t.o.v. punt A , alleen is dit polaire massatraagheidsmoment van de cilinder t.o.v. punt A niet wiskundig te berekenen.
dus dat heeft geen enkel nut.
maar bij een massieve bol met straal =R en middelpunt M valt samen met de oorsprong van een XYZ assenstelsel, had je berekent dat het polaire massatraagheidsmoment van de massieve bol t.o.v. de oorsprong(het middelpunt van de bol) gelijk was aan

\(J_{bol,polair}=\frac{3}{5} \cdot m \cdot R^2 \)

ben je het tot zover met me eens?
 

[Anton_v_U]

Zeker. Tenminste als het polair traagheidsmoment van een lichaam is gedefinieerd als integraal rho r² dV met r de afstand tot een punt. Ik ken het concept niet. Ik vraag mij af voor welk soort van kracht/koppel en beweging deze waarde van belang is.

[aadkr]

verder zat ik te beweren dat er een eenvoudiger methode bestaat om het massatraagheidsmoment van deze massieve bol te berekenen met de z as als rotatieas.
daar moest uitkomen

\(J_{z-as}=\frac{2}{5} \cdot m \cdot R^2 \)

nu volgt uit bolsymmetrie overwegingen dat het massatraagheidsmoment van de bol t.o.v. de x as als rotatieas precies gelijk is als het massatraagheidsmoment van de bol t.o.v. de y-as als rotatieas. en dit is weer gelijk aan het massatraagheidsmoment van de bol t.o.v. de z-as als rotatieas. sterker nog. het massatraagheidsmoment van de bol t.o.v. elke rotatieas die door het middelpunt van de bol gaat , is weer gelijk aan 2/5.m.R^2.
J t.o.v. de x -as als rotatie as is:

\(J_{t.o.v. x-as}=\int (y^2+z^2) \cdot dm \)

\(J_{t.o.v. y-as}=\int (z^2+x^2) \cdot dm \)

\(J_{t.o.v. z-as}=\int (x^2+y^2) \cdot dm \)

als we nu de som van de 3 termen links van het = teken gelijk stellen aan de som van de 3 termen rechts van het =teken, krijgen we:

\(3 \cdot J_{t.o.v. z-as}=2 \cdot \int r^2 \cdot dm \)

 

[aadkr]

ik zal nog even mijn verhaal afmaken.
als ik de 3 integralen rechts van het = teken bij elkaar optel , dan krijgen we:

\(\int(y^2+z^2+z^2+x^2+x^2+y^2) \cdot dm=\)

\(\int(2x^2+2y^2+2z^2) \cdot dm =2 \cdot \int(x^2+y^2+z^2) \cdot dm=2 \cdot \int r^2 \cdot dm\)

\(3 \cdot J_{t.o.v. z-as}=2 \cdot \frac{3}{5} \cdot m \cdot R^2\)

\(J_{t.o.v. z-as}=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot m \cdot R^2=\frac{2}{5} \cdot m \cdot R^2 \)

 

[Anton_v_U]

Mooie afleiding! Ik ben gek op symmetrie argumenten