Vectorruimte

[Nathan Dani235ls]

Kan iemand helpen.
Ik zit vast met het hoofdstuk vectorruimte.
Ik snap er eigenlijk niks van maar als iemand zo vriendelijk wil zijn om de oefeningen gewoon te maken dan kan ik aan de hand daarvan het wel snappen.
 
Oefeningen zijn =
 
Is {(4s,0,-s) | s in R} een deelruimte van de vectorruimte  <b>R</b>³ ? verklaar.
 
Is {(4s,0,3-s) | s in R} een deelruimte van de vectorruimte  <b>R</b>³ ? verklaar.
 
 
beschouw R2*2 van (2X2) - matrices
 
Is [A in R2*2 | A is inversiebel} een deelruimte van R2*2
 
Is [A in R2*2 | A is niet inversiebel} een deelruimte van R2*2
 
 
zijn (1,2,3,4) en (-1,2,-3,4) lineaire onafhankelijk?
 
bepaal k zodat (1,1,2,-4) , (1,2,3,4,-5) en (1,3,k,-6) lineaire onafhankelijk zijn.

[Math-E-Mad-X]

Is {(4s,0,-s) | s in R} een deelruimte van de vectorruimte  <b>R</b>³ ? verklaar.
 

 
Wat is de definitie van 'een deelruimte van een vectorruimte' ? Als het goed is staat er in je boek of syllabus precies aangegeven aan welke voorwaarden een verzameling moet voldoen om een deelruimte van een vectorruimte te zijn.
 
Schrijf deze voorwaarden hier eens op, en vertel van iedere voorwaarde waarom jij denkt dat er wel of niet aan voldaan is.
 
Vervolgens kunnen wij je verder helpen door te zeggen of je goed zit of niet (en waarom niet). 

[aadkr]

De vectorruimte R^3 is een verameling van vectoren , waarin twee bewerkingen zijn gedefinieerd:
1)de optelling
voor alle vectoren x en y ,die tot de vectorruimte R^3 behoren , zal die vectoriele som van die twee vectoren a en b ook tot de vectorruimte R^3 behoren
2)de scalaire vermenigvuldiging
voor alle vectoren a die tot de vectorruimte R^3 behoren ,en lamda is een willekeurig reeel getal , dan zal lambda keer de vector x ook tot de vectorruimte R^3 behoren , ongeacht de reeele waarde van die lambda.
definitie:
een deelruimte U van een vectorruimte R^3 is een deelverzameling van R^3 die met behoud van de in R^3 gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging zelf vectorruimte is.

[Nathan Dani235ls]

De vectorruimte R^3 is een verameling van vectoren , waarin twee bewerkingen zijn gedefinieerd:
1)de optelling
voor alle vectoren x en y ,die tot de vectorruimte R^3 behoren , zal die vectoriele som van die twee vectoren a en b ook tot de vectorruimte R^3 behoren
2)de scalaire vermenigvuldiging
voor alle vectoren a die tot de vectorruimte R^3 behoren ,en lamda is een willekeurig reeel getal , dan zal lambda keer de vector x ook tot de vectorruimte R^3 behoren , ongeacht de reeele waarde van die lambda.
definitie:
een deelruimte U van een vectorruimte R^3 is een deelverzameling van R^3 die met behoud van de in R^3 gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging zelf vectorruimte is.

Kan u dit eens toepassen op Is {(4s,0,-s) | s in R} een deelruimte van de vectorruimte  <b>R</b>³ ? verklaar.
Dit zou veel duidelijk kunnen maken want die s zit me in de weg.

[mathfreak]

Kan u dit eens toepassen op Is {(4s,0,-s) | s in R} een deelruimte van de vectorruimte  <b>R</b>³ ? verklaar.
Dit zou veel duidelijk kunnen maken want die s zit me in de weg.

Die s is gfewoon een variabele die alle mogelijke reële waarden doorloopt. Zoek de definities van de vectorruimte en de deelruimte eens op en kijk eens hoe je deze definities precies toepasr.

[descheleschilder]

Wat betreft jouw eerste vraag: Is de verzameling (4s,0,-s) (s een willekeurig reëel getal) een deelruimte van R³? Kijk eens naar de y-component van de vector. Die is 0, hetgeen betekent dat de verzameling van die vectoren in het xz-vlak (y is altijd 0) ligt en dus tweedimensionaal (R²) is. De vectoren "spannen" een tweedimensionale ruimte op, en ik denk dat je wel inziet dat dit een deelruimte van R³ is.
Hetzelfde geldt voor de verzameling vectoren (4s,0,3-s). Dat er in plaats van -s, 3-s staat maakt niet uit want ook nu kun je alle waarden voor de x- en z-coördinaat. Ook nu weer vormt de verzameling vectoren een tweedimensionale ruimte die in het xz-vlak ligt, en dus een deelruimte van R³ is.
Een deelruimte van R³ is in ieder geval niet een driedimensionale kubus, bol of weet ik wat voor driedimensionale vorm.

[Flisk]

Wat betreft jouw eerste vraag: Is de verzameling (4s,0,-s) (s een willekeurig reëel getal) een deelruimte van R³? Kijk eens naar de y-component van de vector. Die is 0, hetgeen betekent dat de verzameling van die vectoren in het xz-vlak (y is altijd 0) ligt en dus tweedimensionaal (R²) is. De vectoren "spannen" een tweedimensionale ruimte op, en ik denk dat je wel inziet dat dit een deelruimte van R³ is.

Die verzameling vectoren ligt inderdaad in het xz-vlak. Het is echter geen vlak, maar een rechte. Er is slechts 1 variabele, namelijk s. Probeer maar eens een getal s te vinden zodat je de vector (1,0,1) krijgt, dit is onmogelijk. Het xz-vlak was iets van deze vorm geweest: (s,0,t), met dus twee variabelen. (4s,0,-s) is wel een deelruimte van

\(\mathbb{R}^3\)

Dat kan je trouwens nagaan door naar de definitie van een deelruimte en vectorruimte te kijken.

 
 

Hetzelfde geldt voor de verzameling vectoren (4s,0,3-s). Dat er in plaats van -s, 3-s staat maakt niet uit want ook nu kun je alle waarden voor de x- en z-coördinaat. Ook nu weer vormt de verzameling vectoren een tweedimensionale ruimte die in het xz-vlak ligt, en dus een deelruimte van R³ is.

De nulvector is steeds een element van een vectorruimte. De meeste cursussen definiëren een 'deelruimte' als een vectorruimte die ook een deelverzameling is. In dat geval is (4s,0,3-s) géén deelruimte. Het volgende stelsel heeft immers geen oplossing (m.a.w. er is geen nulvector in die verzameling):

\(\begin{cases}4s=0\\3-s=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}s=0\\3=0\Rightarrow strijdig!\end{cases}\)

​

[descheleschilder]

Je hebt, zoals vaker, helemaal gelijk!