[natuurkunde] wet van Ampere

[aadkr]

Beste, in de afbeelding zien we een vertikale elektrische geleider met een lengte van 2 meter ,waar een gelijkstroom doorheen gaat van
I=2A.
deze gelijkstroom vloeit van beneden naar boven.
punt C bevind zich precies in het midden van deze geleider.
vanuit punt C ga ik nu loodrecht op de draad 40 cm naar rechts.
dan komen we op punt B uit.
in punt B wil ik de grootte van de magnetische inductievector berekenen.
mag ik hier nu de wet van Ampere toepassen?
bij voor baat dank
aad.

img032 1072 keer bekeken

 

[Bartjes]

Die wet zal wel gelden (en niet alleen voor ABC), maar de vraag is hoever je daarmee komt. Je hebt hier immers geen "lange" geleider, en kunt dus ook niet als vanzelfsprekend aannemen dat de magnetische inductie in een cirkel rond de geleider een constante grootte heeft.

[Anton_v_U]

Wet van Ampère geldt altijd maar de vraag is of je het veld op een afstand van 40 cm van de geleider door C in het vlak door C loodrecht op deze geleider cirkelsymmetrisch mag veronderstellen (waardoor de veldsterkte constant is en langs de cirkel gericht en dus de grootte van de veldsterkte gemakkelijk te berekenen is). Dat mag bij goede benadering.
 
hmm... dit klinkt wat ingewikkeld maar volgens mij klopt 't wel dus ik laat het staan. Komt neer op: als de vraag is of je de veldsterkte op deze afstand mag bepalen alsof het een oneindig lange geleider is: dat mag bij goede benadering.
 
Gebruik superpositie, d.w.z. dat je de invloed van de afzonderlijke geleiders op het B-veld mag optellen.
 
(1) De invloed van de stroom in de horizontale geleiders op het B-veld in het vlak door C loodrecht op de verticale geleider is nul want de invloed van beide geleiders heft elkaar op. 
 
(2) De invloed van de verticale geleider op 10 meter op de kringintegraal door A en B is klein t.o.v. de invloed van de verticale geleider door C. Om twee redenen:
a. De afstand is groter dan die naar de andere geleider dus het veld is zwakker
b. Omdat de afstand tot deze geleider relatief weinig verschilt aan beide kanten van deze kring, is het veld bij benadering homogeen. De bijdrage van de kring links van C zal die van de kring rechts van C nagenoeg opheffen. 
 
(3) Blijft over de invloed van de verticale geleider door C die wegens (1) en (2) veel groter is dan de invloed van de rest. Dat is het standaardgeval van een cirkel symmetrisch veld tgv een oneindig lange geleider.
 
Je moet er eigenlijk nog wat aan rekenen maar aangezien de effecten genoemd bij 2a en 2b elkaar versterken, zou het me verbazen als het veld ergens in de kring meer dan een paar procent afwijkt van dat van een oneindig lange geleider.

[aadkr]

ik heb de horizontale afstand tussen de twee vertikale geleiders gesteld op 10 meter.
dat had ik beter niet kunnen doen.
ik stel nu de horizontale afstand tussen de twee vertikale geleiders op 100 meter.
dan kom ik tot de conclusie dat de de wet van ampere niet mogen toepassen.
je krijgt dan veels te grote afwijkingen met de werkelijke waarde van de grootte van de vector van de magnetische inductie in punt C.

[Bartjes]

dan kom ik tot de conclusie dat de de wet van ampere niet mogen toepassen.
je krijgt dan veels te grote afwijkingen met de werkelijke waarde van de grootte van de vector van de magnetische inductie in punt C.

 
De wet van Ampère gaat nog steeds op, maar je kunt deze wet alleen niet gebruiken om het geval door te rekenen omdat je de grootte van de magnetische inductie in een cirkel rond de geleider hier niet constant mag veronderstellen (het geval is daarvoor niet symmetrisch genoeg). Voor de werkelijke variabele magnetische inductie in een cirkel rond de geleider gaat de wet nog steeds op. 
 
Je hebt hier voor het uitrekenen onderstaande wet nodig:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Biot%E2%80%93Savart_law

[Anton_v_U]

ik stel nu de horizontale afstand tussen de twee vertikale geleiders op 100 meter.
dan kom ik tot de conclusie dat de de wet van ampere niet mogen toepassen.

 
Dan mag je zeker de wv A toepassen op een cirkel loodrecht door het midden van de geleider: neem de kringintegraal van het B veld rond de geleider, die is evenredig met de omsloten stroom. het veld van de geleider op 100m is nu zeker verwaarloosbaar.
 
 

je krijgt dan veels te grote afwijkingen met de werkelijke waarde van de grootte van de vector van de magnetische inductie in punt C.

 
 
Je had het over de inductie in B. De inductie in het punt C is niet gedefinieerd als je een "oneindig" dunne geleider veronderstelt want de stroomdichtheid is dan oneindig en niet zo differentieerbaar meer (deltafunctie). Als je een geleider met afmetingen neemt met een eindige differentieerbare stroomdichtheid, dan is de veldsterkte wel overal bepaald (Maxwell vergelijkingen: Rot H = J bij afwezigheid van veranderende elektrische velden en dipoolmomenten)

[aadkr]

het veld van die geleider links op 100,4 meter van punt B is verwaarloosbaar. dat ben ik met je eens.
wet van ampere toegepast op het midden van die rechtse geleider geeft:

\(\oint B\cdot 2 \cdot \pi \cdot R=\mu_{0} \cdot \mu_{r} \cdot I \)

\(\oint B \cdot 2 \cdot \pi \cdot 0,4 =4 \cdot \pi \cdot {10}^{-7} \cdot 2 \)

\(B=1 \cdot {10}^{-6}Tesla\)

\(\mu_{r}van \ lucht \ =1\)

maar dit klopt niet.
de werkelijke waarde van de grootte van de vector van de magnetische inductie in punt B bedraagt:

\(B=0,4642 \cdot {10}^{-6}Tesla\)

 

[aadkr]

die waarde helemaal onderaan in mijn bericht nummer:7 klopt niet
mijn excusus daarvoor.
deze waarde  moet nog met 2 vermenigvuldigd worden.
ik heb eerst de wet van biot savart toegepast op die rechtse geleider
dit geeft

\(B=0,92847669 \cdot {10}^{-6} \ Tesla \)

de wet van biot savart toegepast op die linkse geleider geeft:

\(B=0,00003967 \cdot {10}^{-6} \ Tesla\)

Resulterend in punt B:

\(B=0,92843702 \cdot {10}^{-6} \ Tesla \)

Kortom , Anton heeft gelijk en Bartjes ook.
We mogen inderdaad de wet van Ampere toepassen.
de fout die we maken door de wet van Ampere toe te passen ,mogen we wel verwaarlozen.

[Bartjes]

Ik begrijp nog niet dat de magnetische inducties van de twee horizontale geleiders elkaar in B opheffen, maar mogelijk maak ik een tekenfout?

[aadkr]

ik krijg sterk het vermoeden dat je het goed ziet.
ze heffen elkaar niet op, maar versterken elkaar.

[Anton_v_U]

Ik mag me best een beetje schamen want je hebt natuurlijk volkomen gelijk.
 
Desalniettemin zal de veldbijdrage van de horizontaal getekende geleiders uit symmetrieoverwegingen verticaal door het vlak van de kring rond C gaan, zodat de wet van Ampère geldt voor de "horizontale" veldcomponent (die in het vlak van de cirkel ligt).

[Bartjes]

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Biot-Savart#mediaviewer/Archivo:Biot_Savart.svg
 
Dat wijst erop dat de horizontale geleiders wel een (kleine) rol spelen in de magnetische inductie op punt B gemeten in het cirkelvlak.

[Anton_v_U]

Zeker, maar niet in de component evenwijdig met het cirkelvlak. De B-vector zal een beetje het vlak uit worden getrokken door de horizontale geleiders.
 

Gebruik superpositie, d.w.z. dat je de invloed van de afzonderlijke geleiders op het B-veld mag optellen.

 
Geinig, dit is eigenlijk de wet van Biot Savart (nooit van gehoord ofschoon ik elektromagnetisme en maxwell heel uitgebreid heb gehad vroeger), als is die wet wat algemener in de zin van dat je de invloed van lijnelementjes van alle geleiders moet optellen.

[Bartjes]

richting-vectoren 1063 keer bekeken

 
Dat zijn de relevante vectoren.
 
http://nl.wikipedia.org/wiki/Kruisproduct#mediaviewer/Bestand:Cross_product_vector.svg
 
En hierboven hebben we het kruisproduct.
 
Zo krijgen we als effect van het stroomelementje

\( \mbox{I} . \overrightarrow{\mbox{d} \scriptstyle{l}} \)

toch een (negatieve)  bijdrage aan de magnetische inductievector in B die in het cirkelvlak om C ligt?

[aadkr]

dit geldt alleen voor de punten A en B