Een formule over faculteit, niet vanuit de gammafunctie.

[Herman Bastiaans]

In de 1^e plaats is de vraag of onderstaande formule bekend is? Verder heb ik hier niet uitgelegd hoe ik de formule heb opgebouwd. Voor zover denk ik dat hij overeenkomt met de gammafunctie van Euler met

 

\(\Gamma\left(\frac{m_1}{m_2}+1\right)=\frac{m_1}{m_2}\ !\)

 

met

 

\(m_1,m_2\in\nn\)

 

en

 

\(1<m_2\)

 

Deze gammafunctie heb ik echter niet gebruikt. De volgende limiet noteer ik even in het kort als

 

\(L(q,x)=\prod^{\infty}_{k=0}\frac{(k+q+x)(k+1)}{(k+q)(k+1+x)}\)

 

met

 

\( q\neq \)

0,-1,-2,-3,...

\( x\neq \)

-1,-2,-3,-4...

 

Hier volgt de formule waarin ik het ! teken voor faculteit gebruik omdat ik van mening ben dat deze zonder bezwaar gebruikt kan worden bij een argument met reële waarden.

 

\(\frac{m_1}{m_2}\ !=\left({m_1\ ! \prod^{m_2-1}_{i=1}L\left(1+i\frac{m_1}{m_2},\frac{m_1}{m_2}\right)\right)^\frac{1}{m_2}\)

 

met

 

\( m_1,m_2\in\nn\)

 

en

 

\( 1<m_2\)

 

Natuurlijk is elke reactie welkom

 

 

[Drieske]

Het is mij allesbehalve duidelijk wat je nu probeert te zeggen... 

[Herman Bastiaans]

@Drieske,is de formule een bestaande formule en komt hij overeen met de gammafunctie voor de waarden die ik heb aangegeven?

[Herman Bastiaans]

Het is mij wel duidelijk dat er oneindig veel functies te bedenken zijn die een uitbreiding geven van de faculteitsfunctie dus waar de variabele ook reële waarden kan aannemen. De gammafunctie is er hier één van. De vraag is, is deze degene die we zoeken?
In mijn verhaal ben ik begonnen met het bedenken van een definitie van de faculteit die overeenkomt met de gangbare definitie maar wel een uitbreiding hiervan is.
 
Deze gangbare definitie is:
 
X1: 1!=1 (of te beginnen met 0!=1)
X2: (n+1)!=n!(n+1) (n is een natuurlijk getal)
 
Vanuit mijn aangepaste definitie kan ik verder werken naar de definitie van de faculteit voor positieve rationale getallen zoals in de laatste formule. In mijn aanpak rolt ook een verband tussen x! en (-x)! namelijk
 
x!(-x)!=L(1-x,x)
 
wat ook een uitbreiding geeft naar de negatieve rationale getallen.
 
Wat ik nog voor elkaar moet zien te krijgen is een uitbreiding naar de complexe getallen.
Wat zou het kunnen betekenen als mijn formule niet overeenkomt met de gammafunctie van Euler?
Ik hoop op wat reacties.

[Math-E-Mad-X]

 
Hier volgt de formule waarin ik het ! teken voor faculteit gebruik omdat ik van mening ben dat deze zonder bezwaar gebruikt kan worden bij een argument met reële waarden.
 

 
Deze opmerking is één van de redenen waarom het ontzettend onduidelijk is wat je nou precies bedoelt. Het ! teken, oftewel de faculteit, bestaat per definitie alleen maar voor positieve gehele getallen (en nul). Natuurlijk kunnen we een uitbreiding van deze definitie verzinnen, zoals de gamma-functie, maar voor zo'n uitbreiding moet je dan wel een nieuwe notatie en een nieuwe naam verzinnen!
 
Op het moment dat je het uitroepteken gebruikt voor jouw uitbreiding naar rationale getallen veroorzaak je ontzettend veel verwarring omdat wiskundigen nou eenmaal gewend zijn aan het feit dat je dit teken alleen voor positieve gehele getallen gebruikt. Dit is ook precies de reden dat de Gamma-functie de Gamma-functie genoemd wordt, en we er niet het uitroepteken voor gebruiken.
 
Verder is het ook onduidelijk wat je nou precies probeert te bereiken. Je hebt een uitbreiding van de faculteit verzonnen. Okee, maar zoals je zelf aangeeft bestaat zo'n uitbreiding al (de Gamma functie) en bovendien kun je heel gemakkelijk oneindig veel meer uitbreidingen verzinnen (bijvoorbeeld de gamma functie plus een hele reeks sinussen met verschillende golflengtes die allemaal nul zijn in de gehele getallen). Ik zie dus niet precies in wat jij met jou nieuwe formule hieraan toevoegt en, belangrijker, wat jij hieraan toe wil voegen.
 
Als je duidelijk maakt wat je precies wil bereiken dan kunnen de mensen op het forum beoordelen of je dat doel inderdaad bereikt hebt of niet.

[Bartjes]

Inderdaad wordt een uitbreiding pas interessant wanneer je daarmee nieuwe leuke/nuttige/elegante wiskunde kunt beoefenen. Het kan zijn dat dat pas na verloop van tijd blijkt, maar zolang daar nog geen aanwijzingen voor zijn zal zo'n uitbreiding weinig belangstelling wekken.

[Herman Bastiaans]

@Math-E-Mad-X,
 
Hopelijk kan ik dan toch duidelijk maken dat het verantwoord is om het teken voor de faculteit '!' te gebruiken in mijn formule. Het maakt het in ieder geval wel gelijk duidelijk waar het over gaat.
Als je nu de volgende rij bekijkt: 1,2,4,8,16,......... met als definitie (n is een natuurlijk getal)
 
Y1: f(0)=1
Y2: f(n+1)=f(n)x2
 
We gebruiken hier een speciaal teken voor, '^' of noteren dit via een positieaanduiding.
 
Y1: 2^0=1; 2⁰=1
Y2: 2^(n+1)=2^nx2; 2⁽ⁿ⁺¹⁾=2ⁿx2
 
Als we deze rij willen uitbreiden met rationale waarden voor de variabele dan blijven we gelukkig deze notatie houden.
Er zijn natuurlijk oneindig veel uitbreidingen mogelijk d.w.z. er kunnen oneindig veel krommen gaan door de punten {(n,2ⁿ)} maar zo intuïtief heb ik het idee dat er maar één is die we zoeken.
Mijn idee dat we hetzelfde symbool kunnen behouden is de volgende stelling: (a en b zijn natuurlijke getallen) f(a+b)=f(a)f(b). Dit is met volledige inductie te bewijzen uit de definities Y1 en Y2. Als je nu deze stelling gebruikt als definitie van de vermenigvuldiging van f(x) en f(y) (x en y zijn rationale getallen). f(x) krijgt hierdoor een betekenis omdat we het kunnen benaderen met een rationaal getal. Bijvoorbeeld f(1/2)xf(1/2) is volgens de definitie f(1/2+1/2)=f(1)=2. Ook blijft gelden als speciaal geval f(x+1)=f(x)f(1)=f(x)2.
Een soortgelijke methode heb ik gebruikt bij de uitbreiding van de faculteitsfunctie zij het dat ik eerst de definitie van faculteit een iets ruimer jasje heb gegeven dus niet X1 0!=1 en X2 (n+1)!=n!(n+1).
 
Het is niet zo dat ik doelgericht iets hiermee wil bereiken. Ik interesseer mij voor het onderwerp en probeer vanuit mijn visie hier vat op te krijgen. Het resultaat is kennelijk een nieuwe formule wat er op zou kunnen wijzen dat ik op een ander spoor ben gekomen. Wel vraag ik omdat ik ervan uitga dat er maar één uitbreiding is die we zoeken of mijn formule overeenkomt met de gammafunctie.

[Math-E-Mad-X]

@Math-E-Mad-X,
 
Hopelijk kan ik dan toch duidelijk maken dat het verantwoord is om het teken voor de faculteit '!' te gebruiken in mijn formule. 

 
Je hebt mijn punt niet goed begrepen. Natuurlijk kan je best het uitroepteken voor jouw formule gebruiken. Ik zei alleen maar dat het verstandiger is om dat niet te doen, omdat je daarmee bestaande conventies verandert, en alleen maar verwarring zaait.
 
Een belangrijke reden dat men het uitroepteken alleen voor gehele getallen gebruikt, en niet voor de gamma-functie, is omdat de gamma-functie slechts één van de vele mogelijke uitbreidingen is. Er bestaat geen duidelijk 'beste' uitdrukking.
 
Dit integenstelling tot machtsverheffing. Als we de gebruikelijke rekenregels voor machtsverheffing toepassen op algemene rationale getallen dan is er maar één mogelijkheid. Dus was het logisch voor de wiskundige wereld om het symbool voor machtsverheffing hetzelfde te laten voor rationale getallen.
 
En bovendien, zelfs al was het logisch geweest om het uitroepteken te blijven gebruiken voor rationale getallen: dan nog is de algemene afspraak anders, en kun je je daar beter aan houden, hoe onlogisch of onterecht je dat ook mag vinden.
 
Uiteindelijk gaat het immers om de wiskundige resultaten zelf, en niet om wat de beste notatie is.

[Math-E-Mad-X]

 Wel vraag ik omdat ik ervan uitga dat er maar één uitbreiding is die we zoeken of mijn formule overeenkomt met de gammafunctie.

 
Okee, jouw vraag is dus: "voldoet mijn formule aan de vergelijking: f(n+1) = (n+1)f(n) ?"
 
Als ik naar je formule kijk dan ziet dat er behoorlijk lastig uit, dus ik kan zo één-twee-drie niet zien of het klopt.
Kun je zelf niet een bewijs proberen te geven van de stelling? Ik neem immers aan dat je een reden hebt waarom je vermoedt dat jouw formule zou kunnen kloppen.
 
Als je jouw poging tot een bewijs eens stap-voor-stap uitwerkt, dan kunnen wij voor iedere stap nagaan of het klopt wat je doet. 

[Bartjes]

De volgende limiet noteer ik even in het kort als

 

\(L(q,x)=\prod^{\infty}_{k=0}\frac{(k+q+x)(k+1)}{(k+q)(k+1+x)}\)

 

met

 

\( q\neq \)

0,-1,-2,-3,...

\( x\neq \)

-1,-2,-3,-4...

 

Hier volgt de formule waarin ik het ! teken voor faculteit gebruik omdat ik van mening ben dat deze zonder bezwaar gebruikt kan worden bij een argument met reële waarden.

 

\(\frac{m_1}{m_2}\ !=\left({m_1\ ! \prod^{m_2-1}_{i=1}L\left(1+i\frac{m_1}{m_2},\frac{m_1}{m_2}\right)\right)^\frac{1}{m_2}\)

 

met

 

\( m_1,m_2\in\nn\)

 

en

 

\( 1<m_2\)

 

Natuurlijk is elke reactie welkom

 
 
Een definitie moet deugdelijk en eenduidig zijn. In dit geval betekent dat in ieder geval dat de limiet moet bestaan en dat:
 

\( \frac{M_1}{M_2}\ ! = \frac{m_1}{m_2}\ ! \)

 
met M₁ = n.m₁ en M₂ = n.m₂ . En dat moet voor alle positieve natuurlijke getallen n opgaan.
 
Het je dat al bewezen?

[Herman Bastiaans]

@ Math-E-Mad-X,
Misschien is het dan verstandig om een ander teken te gebruiken. Ik dacht zelf aan het teken interrobang (?! maar dan in 1 teken) en misschien weet iemand hoe ik dat teken hier kan plaatsen.
Alvorens dat ik laat zien hoe ik op de limiet en de formule ben gekomen die dus waarschijnlijk nieuw zijn beantwoord ik eerst je vragen.
Mijn vraag was niet zozeer, voldoet mijn formule aan f(n+1)=f(n)(n+1)?. Dit moet natuurlijk wel, maar in mijn opbouw ben ik juist hiervan uitgegaan. Deze vraag mag dan ook wel uitgebreider zijn dus geldt f(x+1)=f(x)(x+1) met x is een rationaal getal?
Het is dus niet zo dat ik met een formule kom en daarna ga bewijzen of f(x+1)=f(x)(x+1) klopt. Dit laatste lijkt me inderdaad knap lastig. Ook het bewijs of de limiet klopt lijkt me niet echt eenvoudig.
Een vraag is ook of de volgende stelling geldt:

\( \Gamma\left(\frac{m_1}{m_2}+1\right)=\left({m_1\ ! \prod^{m_2-1}_{i=1}L\left(1+i\frac{m_1}{m_2},\frac{m_1}{m_2}\right)\right)^\frac{1}{m_2} \)

 
Dit kan toch verder geen verwarring geven. Ik begin te twijfelen aan wat je aangeeft dat er geen 'beste' uitbreiding is.
 

[Bartjes]

\( ! \!\!\! \, ? \)

Maar mooi is anders.
 
Misschien is dit iets:

\( \dot{!} \)

[Herman Bastiaans]

@ Bartjes,
Of een stuk wiskunde nuttig is, is nou niet het eerste waar ik aan denk of wat me interesseert. Als het nieuw is maakt het me wel nieuwsgieriger en ga ik me ook verdiepen in wat er al is over het onderwerp. Ik denk wel dat er wat belangstelling is voor mijn formule.
Je hebt gelijk dat een definitie deugdelijk en eenduidig moet zijn maar ik was nog niet begonnen met het beschrijven van de opbouw van mijn verhaal. Dit zal wel geen fraaie wiskunde zijn maar hiermee ben ik wel op de formules gekomen.
Dat teken 'interrobang' ziet er inderdaad niet zo geweldig uit. Voor mezelf blijf ik voorlopig dat uitroepteken gebruiken dan weet ik beter wat ik aan het doen ben. Dit teken ziet er zeker al iets beter uit.

[Math-E-Mad-X]

Ik zou helemaal geen 'teken' gebruiken. Ik zou gewoon een willekeurige letter gebruiken en dan normale functie notatie gebruiken.
Je zegt dus gewoon: "ik heb een functie f bedacht die voldoet aan f(x+1) = (x+1)f(x) en in de rest van je tekst blijf je de letter f gebruiken om jouw functie te noteren. Dat is hoe wiskundigen normaal gesproken te werk gaan.
 
Een echt specifiek symbool voor een nieuwe functie gaat men pas gebruiken op het moment dat die nieuwe functie ook door vele andere wiskundigen gebruikt wordt. Als iedere wiskundige voor iedere nieuwe functie die hij verzint gelijk een nieuw en uniek symbool moet gaan verzinnen dan wordt het een gekkehuis. Dan heb je wereldwijd elk jaar duizenden nieuwe symbolen nodig.