Slingertijd Mathematische slinger

[aadkr]

de slingertijd van een mathematische slinger is gelijk aan:

\(T=2 \cdot \pi \sqrt{ \frac{L}{g}}\)

dit valt af te leiden uit de volgende differentiaalvergelijking:

\(\ddot{\varphi}+\frac{g}{L}\cdot \varphi =0\)

laten we deze diff. vergelijking vergelijking A noemen.
voor kleine uitwijkingshoeken stellen ze dat bij benadering geldt:

\(\sin \varphi=\varphi\)

met

\(\varphi\)

in radialen.
de werkelijke diff. vergelijking luidt:

\(\ddot{\varphi}+\frac{g}{L} \sin \varphi =0\)

laten we deze diff. vergelijking vergelijking B noemen
vergelijking A geldt voor uitwijkingshoeken van laten we zeggen maximaal 40 graden.
nemen we nu uitwijkingshoeken ,die groter zijn dan 40 graden, bijvoorbeeld 70 graden , dan blijkt de slingertijd T niet meer constant te zijn.
de slingertijd T blijkt dan een funktie te zijn van

\(\varphi\)

mijn vraag is nu: valt die diff. vergelijking B te berekenen, en zo ja wat komt daar dan uit?

[Bartjes]

Het ziet er naar uit dat onderstaande daar een antwoord op geeft:
 
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/070707.pdf
 
(Ik heb het niet nagerekend. )

[aadkr]

Bartjes, bedankt voor je reactie.
ik heb het document bekeken, maar ik snap er niet veel van.
ik zal het nogmaals nauwkeurig bestuderen.
de eindformule heb ik inmiddels gevonden ,en zal ik proberen vanavond nog te plaatsen in een nieuw bericht.
aad

[aadkr]

in het boek van Ir. J.W. Niermans met de titel:
Mechanica van mechanismen
zie ik de volgende eindformule staan:

img033 1321 keer bekeken

 

[Bartjes]

Wordt die formule in dat boek ook bewezen?

[Bartjes]

Mijn eerder gegeven link is nogal ingewikkeld. Maar een mooie truc uit die link kunnen we in ieder geval al op vergelijking B toepassen:
 

\( \ddot{\varphi} \, + \, \frac{g}{L} \sin \varphi = 0 \,\,\,\,\,\, (B) \)

 

\( 2 . \dot{\varphi} . \ddot{\varphi} \, + \, \dot{\varphi} . \frac{2 . g}{L} \sin \varphi = 0 \)

 

\( \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} t} \left [ (\dot{\varphi})^2 \, - \, \frac{2 . g}{L} \cos \varphi \right ] = 0 \)

 

\( (\dot{\varphi})^2 \, - \, \frac{2 . g}{L} \cos \varphi = C \,\,\,\,\,\, (1) \)

 
Waarin C een nader te bepalen integratieconstante is.
 
 
We weten verder dat:
 

\( \varphi = \varphi_0 \, \Rightarrow \, (\dot{\varphi})^2 = 0 \,\,\,\,\,\, (2) \)

 
Dus:
 

\( 0 \, - \, \frac{2 . g}{L} \cos \varphi_0 = C \)

 

\( C = - \frac{2 . g}{L} \cos \varphi_0 \,\,\,\,\,\, (3) \)

 
 
Uit (1) en (3) vinden we:
 

\( (\dot{\varphi})^2 \, - \, \frac{2 . g}{L} \cos \varphi = - \frac{2 . g}{L} \cos \varphi_0 \)

 

\( (\dot{\varphi})^2 \, = \, \frac{2 . g}{L} \cos \varphi \, - \, \frac{2 . g}{L} \cos \varphi_0 \)

 

\( (\dot{\varphi})^2 \, = \, \frac{2 . g}{L} . ( \cos \varphi \, - \, \cos \varphi_0 ) \,\,\,\,\,\, (4) \)

 
 
 

[Bartjes]

Verdere uitwerkingen zijn ook hier te vinden:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_%28mathematics%29

[aadkr]

Bartjes, sorry voor het zo laat reageren van mijn kant op de topic.
dat spijt mij oprecht.
de berekening ,die je in bericht nummer:6 laat zien, is volgens mij uitstekend.
mijn dank daarvoor.
nu kan ik verder.

[Bartjes]

Geeft niet - graag gedaan. Zulke vragen zijn voor mij altijd een leuke uitdaging.

[aadkr]

uitgaande van je formule 4 in bericht nummer:6 nog het volgende:

img037 1316 keer bekeken

weer een stukje verder.

[Bartjes]

Zonder een tekeningetje waarin je aangeeft wat het traject is waarover je integreert en hoe het daar met de tekens en de wortel gesteld is valt voor mij moeilijk te beoordelen of het klopt. Een tekenfoutje - vooral met wortels - is zo gemaakt.

[aadkr]

img038 1316 keer bekeken

 

[Bartjes]

Heel slim!
 
Ik was er automatisch vanuit gegaan dat de slinger op t=0 vanaf φ = φ₀ wordt losgelaten, maar door jouw keuze van het nulpunt wordt de berekening veel eenvoudiger.
 
Zie verder:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_form

[tempelier]

de slingertijd van een mathematische slinger is gelijk aan:

\(T=2 \cdot \pi \sqrt{ \frac{L}{g}}\)

dit valt af te leiden uit de volgende differentiaalvergelijking:

\(\ddot{\varphi}+\frac{g}{L}\cdot \varphi =0\)

laten we deze diff. vergelijking vergelijking A noemen.
voor kleine uitwijkingshoeken stellen ze dat bij benadering geldt:

\(\sin \varphi=\varphi\)

met

\(\varphi\)

in radialen.
de werkelijke diff. vergelijking luidt:

\(\ddot{\varphi}+\frac{g}{L} \sin \varphi =0\)

laten we deze diff. vergelijking vergelijking B noemen
vergelijking A geldt voor uitwijkingshoeken van laten we zeggen maximaal 40 graden.
nemen we nu uitwijkingshoeken ,die groter zijn dan 40 graden, bijvoorbeeld 70 graden , dan blijkt de slingertijd T niet meer constant te zijn.
de slingertijd T blijkt dan een funktie te zijn van

\(\varphi\)

mijn vraag is nu: valt die diff. vergelijking B te berekenen, en zo ja wat komt daar dan uit?

Er is geen oplossing in eindige elementaire functies.
 
Wel is er een oplossinging van een (oneindige) Tayler reeks in termen van de tangens.
De afleiding staat ergens in het Schaum dictaat van Murray  R. Spiegel.

[Bartjes]

Je kan de oplossing ook met behulp van een elliptische integraal schrijven. Zie:
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_%28mathematics%29#Arbitrary-amplitude_period