Vraag omtrent bepalen limiet.

[DennisvanderVeen]

Goedendag,
 
Hieronder opgave uit mijn Calculus boek (Adams):
 

\( \lim_{x \to 2}{(\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 4})} \)

 
Ik ben met deze opgave al twee dagen aan het stoeien. Het antwoordenboek geeft 1/4 als antwoord. Dit heb ik gecontroleerd met Wolfram Mathematica en dat klopt inderdaad. Mijn probleem zit hem in het verkrijgen van de eindvorm, deze moet zijn:
 

\( \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4} \)

.
 
Als ik zelf bezig ben, verkrijg ik de volgende reeks (met verkeerd antwoord):
 

\( \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 4} = \frac{[(x+2)(x-2)] - 4(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-2)} = \frac{(x+2)(x-2)-4}{(x-2)(x+2)} = \frac{-4}{1} = -4 \)

.
 
Dit is het verkeerde antwoord. Het antwoordmodel gebruikt een tussenstap, deze is als volgt:
 

\( \frac{x + 2 - 4}{(x-2)(x+2)} \)

 
Wat ik zelf echter ook doe, ik kom niet tot bovenstaande vorm. Hiervoor kom ik bij mijn versie namelijk een (x-2) 'tekort'. Wie o wie wil mij hierbij helpen? Ik denk dat het iets heel kleins is, maar ik kan er de vinger (al uren) niet op leggen.
 
Alvast bedankt!!
 
Dennis

[Drieske]

Als ik zelf bezig ben, verkrijg ik de volgende reeks (met verkeerd antwoord):
 

\( \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 4} = \frac{[(x+2)(x-2)] - 4(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-2)} = \frac{(x+2)(x-2)-4}{(x-2)(x+2)} = \frac{-4}{1} = -4 \)

.

 
Meerdere fouten zitten in deze berekening. De eerste gebeurde bij de tweede gelijkheid... Je deelt een (x-2) weg bij de 4 en in de noemer, maar niet in de eerste term in de teller. Had je dat wél gedaan, dan had je (x+2)-4 . Verder gaat het ook mis bij de derde gelijkheid. Daar 2 invullen geeft toch niet -4/1??? Kan je nu verbeteren en weer verder?
 
Eenvoudiger was geweest om in te zien dat je iets hebt van de vorm 1/a + 1/(ab) en dat op dezelfde noemer zetten als (b+1)/ab ipv wat jij doet: (ab+a)/(a²b) om dan weer een a weg te delen .

[Safe]

Ontbind de noemer van de tweede term ...

[Drieske]

@Safe: dat heeft TS gedaan in stap 1 (zijn noemer is daar (x-2)(x+2)(x-2)). Dat liep dus niet verkeerd.

[Safe]

@Safe: dat heeft TS gedaan in stap 1 (zijn noemer is daar (x-2)(x+2)(x-2)). Dat liep dus niet verkeerd.

 
De volgende vraag zou zijn wat zijn nu a en b in de hint van Drieske ...

[DennisvanderVeen]

 
Meerdere fouten zitten in deze berekening. De eerste gebeurde bij de tweede gelijkheid... Je deelt een (x-2) weg bij de 4 en in de noemer, maar niet in de eerste term in de teller. Had je dat wél gedaan, dan had je (x+2)-4 . Verder gaat het ook mis bij de derde gelijkheid. Daar 2 invullen geeft toch niet -4/1??? Kan je nu verbeteren en weer verder?
 
Eenvoudiger was geweest om in te zien dat je iets hebt van de vorm 1/a + 1/(ab) en dat op dezelfde noemer zetten als (b+1)/ab ipv wat jij doet: (ab+a)/(a²b) om dan weer een a weg te delen .

 
 
Ga ik even op die voet verder :
 

\(\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 4} = \frac{[(x-2)(x+2)] - 4(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-2)} = \frac{x + 2 - 4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x - 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{(x+2)} = \frac{1}{4} \)

 
Bovenstaande lijkt mij dan het correcte antwoord, is dat juist uitgeschreven?

[Drieske]

Het idee is correct. Maar je noteert het niet erg correct . Zo is je limiet verdwenen. En begrijp je ook waar je verkeerd ging eerst?

[DennisvanderVeen]

 
De volgende vraag zou zijn wat zijn nu a en b in de hint van Drieske ...

Deze methode ken ik (nog) niet, ik besef wel dat de a staat voor (x-2) en de b voor (x+2). Ik zou echter niet weten hoe ik vanuit dat punt verder moet. Als ik daar echter later nog eens rustig mee aan de puzzel ga dan denk ik dat ik daar wel uitkom.
 
Is het altijd zo dat als ik die (x-2) ga delen dat ik die dan deel door de eerste term in de teller, 2e term in de teller en 1x uit de noemer?

Het idee is correct. Maar je noteert het niet erg correct . Zo is je limiet verdwenen. En begrijp je ook waar je verkeerd ging eerst?

Ja, ik heb een aantal rekenkundige fouten gemaakt. Dat van de verdwenen limiet begrijp ik inderdaad, normaal gesproken schrijf ik consequent bij elke stap minder of meer:
 
lim(a) huppeldup = lim(a) aangepaste huppeldup = lm(a) .... etc.

[EvilBro]

Deze methode ken ik (nog) niet

Het is nauwlijks een methode te noemen. Het is slechts gebruik maken van het inzicht dat:

\((c+d)(c-d) = c^2 - d^2\)

Het bespaart misschien wat werk, maar meer ook niet. Jouw aanpak was, op de rekenfouten na, prima. Kijk maar:

\(\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 2^2} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x - 2)(x+2)} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} - \frac{4}{(x - 2)(x+2)} = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2}\)

Niet veel anders...