rang van een matrix

[michanicalengineer]

Beste, 
 
een 3 x 3 matrix:
 
 0   3   0
-3   0   4
 0  -4   0
 
de vraag is bepaal de rang van dit matrix
 
de stelling zegt als de det = 0 dat is de matrix niet inverteerbaar. 
maar de rag is toch 2. 
Hoe kan dat?

[Safe]

Je draait het om, als de 3-matrix inverteerbaar is, is de rang 3.
Als de rang 2 blijkt te zijn zal de det dus 0 moeten zijn.
 
Je zou dus kunnen zeggen dat het bepalen van de rang van een n-matrix nuttig kan zijn als de det 0 is.
 
Maar wat is nu je probleem? De vraag is:
 
 

 bepaal de rang van dit matrix

 
Je hebt dat gedaan ...

[michanicalengineer]

dat klopt, ik heb me vergist.
Ik heb een vraagje.
wat bedoelen ze met bepaal de dimensie van de nulruimte.

[Safe]

Geef de opgave graag ...

[Flisk]

wat bedoelen ze met bepaal de dimensie van de nulruimte.

Een matrix kan je ook zien als een lineaire afbeelding. Als je de matrix rechts vermenigvuldigt met een vector, krijg je opnieuw een vector. Deze vector noem je het beeld van die vector waarmee je de vermenigvuldiging gedaan hebt.

De nulruimte van een matrix is de ruimte die gevormd wordt door de vectoren waarvan het beeld gelijk aan de nulvector is.

De vraag is dan om de dimensie van deze nulruimte te bepalen, ofwel, hoeveel lineair onafhankelijke vectoren je kan vinden in die nulruimte.

 

[michanicalengineer]

Beschouw V de verzameling van alle veeltermen van graad 3 of lager, en W de verzameling van alle veeltermen van graad 4 of lager.
De transformatie S van V naar W wordt gedefinieerd als volgt:
 
S(a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³) = ( a₁- a₀)t² + (a₂ - a₀)t³ + (a₃ - a₀)t<sup>4

 
Wat is de dimensie van de nulruimte (kern, kernel) van S?</sup>

[Flisk]

Begin eens met te kijken wanneer het beeld precies nul wordt. Wat weet je dan over a₀,a₁,a₂ en a₃?

[michanicalengineer]

Een matrix kan je ook zien als een lineaire afbeelding. Als je de matrix rechts vermenigvuldigt met een vector, krijg je opnieuw een vector. Deze vector noem je het beeld van die vector waarmee je de vermenigvuldiging gedaan hebt.

De nulruimte van een matrix is de ruimte die gevormd wordt door de vectoren waarvan het beeld gelijk aan de nulvector is.

De vraag is dan om de dimensie van deze nulruimte te bepalen, ofwel, hoeveel lineair onafhankelijke vectoren je kan vinden in die nulruimte.

 

je bedoel misschien de rang? 
waaneer dat  t=0

[Flisk]

je bedoel misschien de rang?

Nee, de rang is gelijk aan de dimensie van het beeld. De kern (dimensie van de nulruimte) is dus iets anders.

 

wanneer dat  t=0

Het gaat hier over veeltermen op zich en niet specifieke waarden. Je mag dus geen waarde aan t geven, die blijft onbekend.

Neem bijvoorbeeld de verzameling van alle veeltermen van graad drie:

\(\{at^3+bt^2+ct+d|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}\)

Als je dan eens kijkt naar welke eigenschappen een vectorruimte moet voldoen, zal je merken dat deze verzameling een vectorruimte is.

Je kan dan een veelterm in deze verzameling voorstellen door volgende vector:

\([a,b,c,d]\)

En die vector is gelijk aan de nulvector indien a=b=c=d=0.

[michanicalengineer]

ok, maar hoe moe het dan berekende worden?

[Flisk]

Neem nu dat voorbeeld uit bericht nr 6, elke reële veelterm van graad 3 komt overeen met een vector met vier componenten (zie bericht nr 9). Deze wordt dan afgebeeld door S op een reële veelterm van graad 4 (of dus een vector met 5 componenten). In symbolen:

\(S:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^5, [a_0,a_1,a_2,a_3]\to [0,0,a_1-a_0,a_2-a_0,a_3-a_0]\)

Nu is de vraag, wat is de dimensie van de nulruimte van de afbeelding S. Je wilt dan natuurlijk weten wat die nulruimte is. Je moet dus alle vectoren in

\(\mathbb{R}^4\)

vinden waarvoor het beeld gelijk is aan [0,0,0,0,0]. Er bestaan hier algemene oplossing methodes voor, maar bij deze zie je het makkelijk op het zicht. Kijk eens welk verband a₀,a₁,a₂ en a₃ moeten hebben opdat

\([0,0,a_1-a_0,a_2-a_0,a_3-a_0]\)

gelijk is aan de nulvector.

[Safe]

Bekijk eerst eens: S(1+t+t^2+t^3)