parametric vector equation

[Shadow]

Dag,

Screenshot_2014-11-09-06-16-44 703 keer bekeken

Waarom wordt deze vergelijking parametrisch genoemd? Het zou toch voldoende zijn geweest om de vergelijking slechts aan te duiden als een vector vergelijking?

edit: oh, ik zie het nu denk ik: de vergelijking bevat niet alleen een vector, maar ook een onafhankelijke variabele. Had eerst niet door dat s en t parameters zijn.

[Shadow]

Vervolgvraagje over dit soort vergelijkingen:

Screenshot_2014-11-09-14-55-00 703 keer bekeken

Klopt het dat p altijd de oplossing is wanneer geldt dat alle (vrije?) variabelen 0 zijn? Het boek is nl. niet erg specifiek in theorie 6.

[Drieske]

Ivm je tweede vraag: neen. Je p is een oplossing van het stelsel Ax = b. Dus p voldoet aan Ap = b. En ze zeggen dan dat elke andere oplossing w van Ax = b (dus w voldoet aan Aw = b) kan geschreven worden als w = p + v met v een oplossing van Ax = 0 (dus v voldoet aan Av = 0).
 
Ps: de vertaling van Theorem is stelling, niet theorie .

[Shadow]

Hm, ik volg wat je schrijft, maar ik zie niet in waarom v niet 0 moet zijn...
Ap =b
en
Aw=b
waarbij geldt: w= p+v
Dan moet p toch de oplossing zijn waarbij geldt, v=0, oftewel de parameter vóór v is nul?

[Flisk]

Er wordt verondersteld dat A een lineaire afbeelding is. Kijk eens naar de definitie van een lineaire afbeelding en controleer daarna dat dit het geval is bij matrixvermenigvuldiging.  Dan geldt er A(p+v)=A(p)+A(v).

Dan staat er gewoon dit:

Als

\(\left\{ \begin{matrix}A(w)=b\\A(p)=b \end{matrix}\right\iff \left\{ \begin{matrix}A(p+v)=b\\A(p)=b \end{matrix}\right\iff\left\{ \begin{matrix}A(p)+A(v)=b\\A(p)=b \end{matrix}\right\)

Als je dat stelsel oplost krijg je A(v)=0.

Eén van de oplossingen is inderdaad v=0 want de nulvector wordt altijd op zichzelf afgebeeld door een lineaire afbeelding, probeer dit laatste ook eens te bewijzen. Als dit je lukt snap je deze manier van redeneren helemaal.

[Shadow]

A is toch rederlijkerwijze nooit 0, dus dan is v=0 de enige oplossing, oftewel de parameter vóór v moet nul zijn?

[Flisk]

Nee, bijvoorbeeld:

\(A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)

en

\(v= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Dan geldt er (reken dit na!):

\(Av=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Terwijl A en v beide verschillend van nul zijn.

[Shadow]

Ow ja, A is een matrix, en geen los getal:P
Bedankt, nu snap ik het!

[Flisk]

Correcter zou zijn, A is een lineaire afbeelding (a.k.a. lineair transformation). Maar een lineaire afbeelding kan je inderdaad zo goed als altijd schrijven als een matrix.

[Drieske]

Maar een lineaire afbeelding kan je inderdaad zo goed als altijd schrijven als een matrix.

 
Misschien even aanvullen: als je vectorruimten eindigdimensionaal zijn, is elke lineaire afbeelding te schrijven als een matrix.