analogietje gezocht voor halveringstijd

[Jan van de Velde]

Halveringstijd (van radioactief verval) is een begrip dat op VMBO-niveau niet vanzelf op zijn plek valt. 
 
Schoot me een idee te binnen voor een analogietje dat met een vlot sommetje in orde lijkt, maar ja, intuïtie is dat ding dat me wel vaker in de steek heeft gelaten.
 
"stel ik vul een fles met water. Ik prik er van onder een klein gaatje in, en na een minuut is de fles half leeggelopen. Is een minuut later de fles helemaal leeg? Nee natuurlijk. De stroomsnelheid halveert ook als de hoogte is gehalveerd, dus het duurt nu een minuut tot de fles nog maar voor een kwart (de helft van de helft) vol is. En wéér een minuut tot hij nog maar voor een achtste (de helft van een kwart) deel vol is. "
 
Zie ik ergens een factor over het hoofd waardoor deze analogie ver bezijden de waarheid is, of klopt dit wel? 

[Michel Uphoff]

De uitstroomsnelheid is volgens mij evenredig aan de wortel uit de hoogte (wet van Torricelli). Bij een hoogte van 10 lengte eenheden duurt het dan 3,16 tijdseenheden. Jouw analogie zou bij een hoogte van 5 weer op 3,16 tijdseenheden komen, maar het zijn er maar 2,23. Bij een hoogte van 2,5 zou jij weer op 3,16 komen ipv 1,58.

[Michel Uphoff]

Lastig een eenvoudige analogie te bedenken. Misschien zoiets:
 
Een doos met muntjes wordt goed geschud en mag iedere 10 minuten ontdaan worden van alle muntjes met de kop boven (die zijn niet meer radioactief), waarna hij weer geschud wordt. Na 10 minuten begint het spel opnieuw.

[Anton_v_U]

ik ken deze manier (lijkt op wat Michel schrijft): neem een stuk of 100 dobbelstenen. Werp alle dobbelstenen en haal alle zessen weg. Noteer hoeveel je er over hebt. Herhaal dit met de overgebleven dobbelstenen enzovoorts, maak een tabel en grafiek van overgebleven dobbelstenen na n x gooien. Uit de grafiek kun je ongeveer de halveringstijd bepalen, uitgedrukt in het aantal keer gooien.
 
De analogie met de fles water is geen analogie want het principe is anders. Het is alleen een analogie als na dezelfde tijd (gemiddeld) dezelfde fractie "vervalt", want dat is de kern van wat je wilt overbrengen (je wilt althans een gevoel hiervoor overbrengen)
 
Andere analogie (beetje kunstmatig):
Vossen eten konijnen. In een maand vangen ze 5% van alle konijnen. Door een ziekte zijn alle konijnen onvruchtbaar. Konijnen sterven niet door een andere oorzaak dan door vossen. Je begint met 5000 konijnen. Hoeveel maanden duurt het totdat de helft van de konijnen over is. Maak een tabel, een grafiek etc.

[Benm]

Die analogie met de fles zit mij ook niet lekker: als ik precies doe wat je zegt dan is die fles binnen afzienbare tijd leeg. Zoals gezegd hangt dat samen met de wortel van de hoogte van het water, maar belangrijker is dat het in de praktijk gewoon 'op raakt'.

Bij radioactief verval kun je 10, desnoods 20, halfwaardetijden wachten en nog steeds activiteit meten (als je met een forse activiteit begon). Bij zo'n fles met een gaatje is ie na 10 halfwaardetijden denk ik wel leeg (in de zin dat er niets meer uit stroomt).

Dobbelstenen of muntjes gooien en bepaalde waarden eruit gooien tot je niets meer over hebt komt dichter bij de werkelijkheid van verval, maar voor het inzicht moet je dat wel gaan doen met miljarden tegelijk.

[Michel Uphoff]

neem een stuk of 100 dobbelstenen
 

 
Ook een aardig idee. Ik zou dan wel denken dat je beter de even of oneven nummers kan uitnemen.
Met bijvoorbeeld 32 dobbelstenen, een keer per 30 seconden gooien en uitnemen zit je aan gemiddeld 2,5 minuten.
10 keer herhalen (25 minuten duur van het proefje) en je zou in de buurt van de halfwaardeverdeling moeten kunnen komen.
Zoals Anton zegt, tabelletje, middelen, grafiekje en je hebt een leuk projectje op (denk ik) vmbo niveau.

[Flisk]

Probleem met dobbelstenen/muntjes is dat je dan een discreet geval bekijkt terwijl verval een zo goed als continu proces is. Praktisch komen er altijd zoveel deeltjes bij kijken dat het eerder een exponentiële functie is.

[Drieske]

Dat lijkt me niet meteen een groot bezwaar. Het gaat immers over de halfwaardetijd.
 
Wat misschien "leuker" is dan met muntjes of dobbelstenen werken: vul een glazen bokaal met M&M's (de snoepjes ) in (bijv.) rood en groen. Laat vervolgens de bokaal rondgaan en de studenten nemen blindelings een M&M uit de pot. Als het een rode is, mogen ze hem eten, is het een groene gaat hij terug in de pot. (Je kan de rode vervangen door een groene om het effect nog wat te versterken lijkt me) 

[Bartjes]

Neem N atomen van een radioactief materiaal M. Dan zal na een zekere tijd τ(M) de helft van die N atomen vervallen zijn. Verdeel nu de N radioactieve atomen in gedachten in twee groepen van N/2 radioactieve atomen. Dan zal op grond van symmetrie opnieuw na de tijd τ(M) de helft van de N/2 atomen (dus per groep N/4 atomen) vervallen zijn. Totaal zijn dan uiteraard weer N/4 + N/4 = N/2 atomen vervallen. Een analoge redenering geldt voor alle opdeling van de N radioactieve atomen in meerdere groepen van gelijke grootte. Dus de halfwaardetijd τ(M) is enkel afhankelijk van het materiaal M en onafhankelijk van de hoeveelheid radioactieve atomen N.
 
Met een gedachte-experiment als hierboven (eventueel ondersteund met verhelderende tekeningetjes) kan je dus de zinnigheid van het begrip halfwaardetijd laten zien.

[Typhoner]

Een mogelijk bruibare analogie is een uiz à la 1 tegen 100, waar er steeds een fractie afvalt
 
of misschien nog wat accurater: een talentenjacht zoals The Voice, waar elke ronde een aantal kandidaten afvalt. In jouw analogie is het dus elke ronde de helft

[Th.B]

Analogie met The Voice wekt het idee dat de atomen 'geselecteerd' worden, dus dat sommige 'beter' zijn dan anderen en daardoor langer niet vervallen. Da's niet waar, bij atomen is het random.

[Emveedee]

Dat lijkt me niet meteen een groot bezwaar. Het gaat immers over de halfwaardetijd.
 
Wat misschien "leuker" is dan met muntjes of dobbelstenen werken: vul een glazen bokaal met M&M's (de snoepjes ) in (bijv.) rood en groen. Laat vervolgens de bokaal rondgaan en de studenten nemen blindelings een M&M uit de pot. Als het een rode is, mogen ze hem eten, is het een groene gaat hij terug in de pot. (Je kan de rode vervangen door een groene om het effect nog wat te versterken lijkt me) 

 
 
Maar na een paar rondjes zijn alle groene natuurlijk op, terwijl de rode overblijven. Lijkt mij verwarrend.

[Jan van de Velde]

De uitstroomsnelheid is volgens mij evenredig aan de wortel uit de hoogte (wet van Torricelli).

](*,) bang goes the intuition
 
ook nog bedankt allen voor de overige suggesties. Die waren mij bekend maar hebben de akelige eigenschap niet mooi aan de (oppervlakkige) theorie te voldoen omdat de betrokken aantallen te klein zijn. 
Ik heb ze vorig jaar allemaal een muntje gegeven en wie kop gooide moest gaan zitten. Maar met 25 man kwam ik zo óók na drie uitvoeringen niet tot een gemiddelde dat ook maar bij benadering op een halveringsgrafiek leek.
Tegelijkertijd halveringstijd en kansrekening uitleggen is teveel van het goede voor jongens van dit niveau.   

[Bartjes]

Eigenlijk is het ook correct dat de halveringstijd er bij kleine aantallen niet uitkomt. Dat zal bij kleine aantallen echte radioactieve atomen (neem ik aan) ook niet zo zijn.

[Benm]

Correct is het natuurlijk wel, maar het educatieve doel lijkt me eerder dat het 'te goed' werkt en je telkens zo'n beetje de helft krijgt. Dat vereist werken met grotere aantallen.