Wetenschapsquiz vraag 7 onzinnig

[EvilBro]

Nu de 'mee-doen-datum' verstreken is, kunnen we het hebben over vraag 7. Deze vraag is, mijn inziens, onzinnig. In het volgende laat ik zien waarom de vraag onzinnig is. Mocht je een fout ontdekken dan wil ik het graag horen.

Voordat we vraag 7 bekijken, beginnen we te kijken naar de vraag "Wat is de verhouding tussen de hoeveelheid even en oneven getallen?" Gevoelsmatig denk je misschien dat de verhouding 1:1 is. Je kunt immers bij elk even getal 2*k een nog niet eerder gebruikt oneven getal 2*k+1 verzinnen om een paar te vormen. Dit kun je doen voor alle even getallen.
Maar je zou ook het volgende kunnen doen: bij elk even getal 2*k verzin je twee oneven getallen (4*k+1) en (4*k+3). Zo kun je aan elk even getal, twee nog niet eerder gebruikte oneven getallen toekennen. De verhouding is nu dus 1:2.
Het probleem is dat elke verhouding op deze manier te bewijzen is. Vragen wat de verhouding is bij oneindige sets, is dus niet zinnig.

Nu naar de vraag:

Vraag 7
Als je een oneindig grote vloer aaneengesloten zou betegelen met deze strikjes- en bootjestegels, wat is dan de verhouding tussen strikjes en bootjes?

Label alle bootjestegels met een even nummer en alle strikjestegels met een oneven nummer. Hiervoor geldt hetzelfde argument als hierboven.

Het zou misschien kunnen dat met verhouding bedoeld wordt dat je naar de cardinaliteit moet kijken van beide sets (die is hetzelfde). Ik verwacht echter, maar misschien is dat niet goed, dat ze gaan verwijzen naar Penrose Tiling bij deze vraag. Bij zo'n tiling neigt de verhouding steeds meer naar de gulden snede naar mate het gebied groter wordt. Ik vermoed dat dat het 'geinige weetje' is bij deze vraag.

[jkien]

Het lijkt me dat je bij niet-periodiek betegelen altijd moet uitbreiden aan de buitenrand, zonder gaten in het binnengebied, en zonder eilanden in het buitengebied.

[Bartjes]

Ik verwacht echter, maar misschien is dat niet goed, dat ze gaan verwijzen naar Penrose Tiling bij deze vraag. Bij zo'n tiling neigt de verhouding steeds meer naar de gulden snede naar mate het gebied groter wordt. Ik vermoed dat dat het 'geinige weetje' is bij deze vraag.

 
Er van uitgaande dat het past (is dat zo?), zou je het aldus kunnen definiëren:
 
Voor een oneindig groot oppervlak is de verhouding tussen "aantallen" strikjes- en bootjestegels inderdaad niet gedefinieerd. Wat je wel zou kunnen doen is een willekeurig middelpunt kiezen en daar een cirkel met straal R omheen tekenen. Vervolgens kun je bekijken of de verhouding tussen het oppervlak S( R ) van de strikjestegels dat binnen die cirkel ligt en het oppervlak B( R ) van de bootjestegels dat binnen die cirkel ligt voor R nadert tot oneindig naar een zekere (middelpunt afhankelijke?) eindige waarde nadert.

[Math-E-Mad-X]

Dit lijkt me inderdaad een voorbeeld van een slecht gedefinieerd probleem. Maar eerlijk gezegd had ik ook niet anders verwacht van de wetenschapsquiz. Vandaar dat ik ook al jaren  lang niet meer naar de problemen kijk. 

[jkien]

De aanpassing die Evibro voorstelde vind ik wel meevallen: naar welke waarde neigt de verhouding naarmate het gebied groter wordt?

[Bartjes]

Dat is nog geen scherpe definitie. Je kan een gebied op allerlei manieren vergroten en wellicht zelfs op manieren waarbij het aandeel van de ene of de andere soort van tegeltjes wordt voorgetrokken.
 
Meer info staat hier:
 
http://www.kennislink.nl/publicaties/aan-de-slag-met-vraag-7-van-de-wetenschapsquiz

[jkien]

Zeker, de keuzeantwoorden suggereren dat er geen concrete limietwaarde is. Alleen een onder- of bovengrens.

 

[Bartjes]

Worden de juiste antwoorden compleet met bewijzen bekendgemaakt?

[shimmy]

Er werd niet letterlijk naar Penrose tiling verwezen maar inderdaad ging het antwoord wel richting de gulden snede.

[Bartjes]

Werd er ook een bewijs gegeven?

[jkien]

Ze geven uitleg maar geen bewijs. Dit is de uitleg: antwoorden

[Bartjes]

Sleutelwoord in die uitleg is: 'semi-periodiek rooster'.
 
Zoeken op internet levert daarvoor:
 
https://www.google.nl/?gfe_rd=cr&ei=55SNVLPXL9bCbL6EgZAE&gws_rd=ssl#q=+%22semi-periodiek+rooster%22
 
Heel leuk.

[Benm]

Ik heb eerlijkgezegd niet zoveel moeite met de manier waarop ze dit antwoord hebben neergezet. Uiteraard is het een limietgeval, maar dat geldt met de meeste fysieke 'oneindigheden'.

Voor wat het aantal even en oneven getallen betreft kun je het ook zo zien:

- even getallen kleiner of gelijk aan 3: 2; oneven: 1,3, verhouding 1:2 (oei!)
- even getallen kleiner of gelijk aan 9: 4; oneven: 1,3,5,7,9 verhouding 4:5 (soit)

als je dat even voortzet naar 'beneden 9999' kom je akelijk dicht bij 1:1, voor een even limiet is het altijd exact gelijk.

[EvilBro]

Voor wat het aantal even en oneven getallen betreft kun je het ook zo zien:

Waar je dan aan voorbij gaat is dat jouw grens min of meer kunstmatig is. 'Beneden 9999' is niets anders dan de verhouding in de eerste 9998 elementen van de rij: 1,2,3,4,5.. Dit leidt tot niets (wiskundig gezien). Dit is, mijn inziens, simpel in te zien door dezelfde logica los te laten op de rij:
2,1,3,4,5,7,6,9,11,8,13,15,...
Verhouding in de eerste 3 getallen van de rij? 1:2
Verhouding in de eerste 6 getallen van de rij? 1:2
enz.

Zoals ik al aangaf: Ik snap prima wat ze wilden vragen. Ze hebben de vraag echter zo gesteld dat er iets onzinnigs staat. De verhouding van twee oneindige sets is niet iets wat (standaard) zinnig gedefinieerd is.

[Benm]

Ongelukkig is de term 'oneindig' natuurlijk wel, ze hadden beter voor een 'heel grote vloer' kunnen gaan.

Natuurkundig zijn oneindig grote vloeren ook niet handig: het is lastig tegeltjes tellen als de vloer zojuist onder haar eigen massa is ingestort - maar dat was ook niet het antwoord dat men zocht, denk ik.