joint probability density

[CasperPT]

Hallo allemaal,

Ik ben bezig met een opgave en ik kom er niet helemaal uit. Het gaat om opgave 53. Ik heb een foto in de bijlage toegevoegd.
 
 
Omdat het een continuous functie is moet hij geïntegreerd worden. Volgens mij het is P(X+Y>1/2) wat gevonden moet worden. Maar ik weet niet goed hoe ik nu verder moet, welke integralen moet ik nemen en waarom?
 
Bij voorbaad dank

[Anton_v_U]

 Volgens mij het is P(X+Y>1/2) wat gevonden moet worden. 

 
Klopt!
 
Zonder plaatje lukt dit niet (mij in ieder geval niet)
Begin met een plaatje van het (x,y) vlak waarin je het bereik van f(x,y) aangeeft.
Daarna arceer je het gebied waarover je f(x,y) moet integreren.
 
Tot slot schrijf je de integraal op. Het is een dubbele integraal. Afhankelijk van de vorm van het gebied waarover je moet integreren, kan het zijn dat je meerdere integralen op moet tellen. Merk op dat de grenzen voor y af zullen hangen van de waarde van x (of andersom).

[CasperPT]

Een plaatje tekenen heb ik ook geprobeerd, maar daar kom ik niet helemaal uit.
 
Want de waarde van x is nergens gedefineerd, er is alleen een domein gegeven. Dus wat is de waarde van de functie überhaupt op f(1,1) of f(x,1)? Wat ik eigenlijk probeer uit te vogelen: hoe teken je een f(x,y) functie in een x,y grafiek als je geen waardes voor x kunt bepalen?
 
Wat ik probeerde is het volgende:
neem bijvoorbeeld punt y=0.5
Dan krijg je

\(f(x,\frac{1}{2})=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.\)

dus Y=2 bij y=0.5
Maar hoe zit het dan met X? Teken ik twee punten op de X as voor y en Y?

[Anton_v_U]

Het volgende moet je eerst helemaal begrijpen, daarna heeft het pas zin om verder over de opgave na te denken:

• De kansdichtheid op het punt (1,1) bestaat niet (buiten het domein)
• De kansdichtheid op het punt: (0.9999..., 0.9999....) is 1/y = 1.
• y=0,5 is geen punt, het is een lijn. Op deze lijn is de kansdichtheid gedefinieerd voor x = <0,0.5> (dit is het deel van de lijn die binnen het domein ligt) en de kansdichtheid op dit lijnstuk is 1/y = 2.

 
Het algemene idee is:

• Het criterium voor (x,y) is een gebied in het x,y-vlak. Deze uitkomsten voldoen aan het criterium
• De kansdichtheidsfunctie f(x,y) is gedefinieerd op een domein, dat is een ander gebied in het x,y vlak. Deze uitkomsten zijn mogelijk.
• Alle mogelijke gebeurtenissen die aan het criterium voldoen, liggen in beide gebieden: de doorsnede.
• De kans dat een gebeurtenis aan het criterium voldoet is de integraal van f(x,y) over deze doorsnede.
• Als de doorsnede leeg is, dan is de gevraagde kans dus nul
• Als de doorsnede het gehele domein van f(x,y) beslaat, dan is de kans één want de integraal over het gehele domein van f(x,y) is per definitie 1 want het is een kansdichtheid.

Je uitwerking begint zo:
 
Teken een plaatje van het domein van f(x,y) Dit is het gebied dat voldoet aan de twee criteria:
0 < x < y. Dit wordt begrensd door de lijnen x=0 en x=y.
0 < y < 1. Begrensd door y=0 en y=1.
 
Teken het gebied waarvoor X+Y>1/2. Dit wordt natuurlijk begrensd door de lijn: x+y = 1/2
Geef dan het deel van het domein van f(x,y) dat alle uitkomsten bevat dat voldoet aan dit criterium (de doorsnede).
 
Dan heb je precies het gebied bepaald dat én in het domein van f zit én voldoet aan het criterium.
Bijgevolg is de gevraagde kans de dubbele integraal van f(x,y) over dit gebied.
 
Laat eerst een duidelijke tekening zien, dan kunnen we daarna nadenken over de integraal en de grenzen.
Eerder heeft dat nog geen zin.

[CasperPT]

Hoi Anton,

Wat een goede uitleg!

Ik heb zoals je zei al wat zitten puzzelen met de domeinen en de tekening.

Ik ben uitgekomen op de bijgevoegde tekening.

De blauwe lijnen bakenen het domein van de functie af. (y=1 en x=y)

De rode lijn is de lijn x+y=1/2

Het totale gebied van geel plus groen is dus het gebied van de functie.

Als ik het goed heb moeten we het gele gebied hebben. Ik zie veel verschillende manieren om deze op te delen om in verschillende delen te integreren. Zelf neig ik naar een dubbele integraal met 1/2 tot 1 op het domein van x en 1/2-x tot 1 op y. Kan dat kloppen?

[Anton_v_U]

Prima plaatje.
Je moet inderdaad f(x,y) integreren over het gele gebied.
 
Een dubbele integraal kun je zien als:  
a) de integraal over een horizontale strook en dan van beneden naar boven integreren 
b) de integraal over een verticale strook en dan van links naar rechts integreren 
 
Het kan niet in één integraal, je zult moeten splitsen en optellen:
 
ofwel a)
y tussen 0,25 en 0,5 en x-grenzen tussen rood en blauw +
y tussen 0,5 en 1 en x grenzen tussen 0 en blauw
 
ofwel b)
x tussen .... en .... en y tussen .... en .... +
x tussen .... en .... en y tussen .... en ....
 
Gebruik hierbij de relatie tussen x en y op de rode en blauwe lijn als je de grenzen vaststelt.

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Hier liepen twee "hulplijnen" door elkaar en dus in de knoop. Alle  berichten vanaf 10:17 vandaag zijn daarom vooralsnog onzichtbaar gemaakt. 
We wachten op CasperPT ..........