Taylorreeks tan(x) rond x = 0

[Robin4]

Beste,

 

Ik heb problemen bij het ontwikkelen van tan(x) naar een taylorreeks.  Ik schrijf

\(\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)

als

\(\tan{x} \approx  \frac{x-\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + ... }{1- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + ...}\)

met behulp van de taylorreeksen van sinx en cosx, maar zie niet in hoe ik dit als een  mooie som moet schrijven.
 
Alvast bedankt,
Robin Dhaene
 

[Safe]

De deling uitvoeren ... , of:
 
Stel:
 

\(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=x+a_3x^3+a_5x^5+ ...\)

 
Waarom heeft de tan, in de reeksontwikkeling, oneven machten van x ...

[Anton_v_U]

Differentieren, Taylorreeks rond nul: f(x) = som k-de afgeleide in nul gedeeld door k!

[Robin4]

De deling uitvoeren ... , of:
 
Stel:
 

\(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=x+a_3x^3+a_5x^5+ ...\)

 
Waarom heeft de tan, in de reeksontwikkeling, oneven machten van x ...

Ik vermoed dat dit zo is omdat de tangens een oneven functie is.  Ik herinner me nog vaag van een uitleg dat er inderdaad een deling uitgevoerd moet worden, maar dit werd door de assistent gedaan met een trucje, dat ik echter niet kon lezen.  

[Safe]

Klopt.
 
 
Begin eens ...

[Robin4]

Ik kan uiteraard gewoon afleiden, maar er is een benadering tot de zesde orde gevraagd, dus dit zal heel veel werk vergen.  Een staartdeling lukt ook niet, want ik krijg een rest waar ik niks meer mee kan doen. Bestaat er geen manier om zowel de teller als de noemer te vermenigvuldigen met een toegvoegde, om zo een mooie veelterm te krijgen?

[Safe]

Je hebt:
 
 

\(\sin(x)=\cos(x)(x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7 ...)\)

 
Je kent de reeksontwikkeling van zowel sin als cos ...
 
Kan je nu a₃, a₅ en a₇ berekenen ...
Waarom moet a₁=1 zijn?

[Robin4]

Je hebt:

 

 

\(\sin(x)=\cos(x)(x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7 ...)\)

 
Je kent de reeksontwikkeling van zowel sin als cos ...

 
Kan je nu a₃, a₅ en a₇ berekenen ...
Waarom moet a₁=1 zijn?

Uiteraard, bedankt voor de uitleg!

Deze coëfficiënt moet 1 zijn, omdat de eerste orde benadering van de tangens rond 0 gegeven wordt door x. (Tan'(0) = 1)

Nu moeten de coëfficiënten berekend worden door distributief uitwerken en de verkregen coëfficiënten gelijk te stellen aan de reeks ontwikkeling van sinx.

[Safe]

Ok, ga je gang ...

[Robin4]

Oeps, vergeten antwoorden...
 
We krijgen dus

\( x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} = (x+a_3x^3+a_5x^5+ ...)(1- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + ...) \)

Na uitwerking wordt dit dan:
a_3 = 1/3
a_5 = 2/15
 
Dus

\(\ tan x = x + \frac{1}{3}x^3+ \frac{2}{15}x^5-... \)

Bedankt voor de hulp!

[Safe]

Prima!