Ziekteverspreiding en wiskunde

[wetenschapper7]

Kan iemand mij helpen met de volgende vragen: 
 
Ik ben op zoek naar hoe je de verspreiding van een bepaalde ziekte kan weergeven in een functie als je een geisoleerde populatie hebt van 1000 mensen ( met of zonder rekening tre houden met een zelfstandig genees van d epersson). Wat ik daarna ook zou willen weten is wanneer het aantal zieke mensen zijn maximum bereikt heeft. 
 
Ik hoop dat er mensen zijn die me kunnen helpen. 
 
Alvast bedankt
 

[Anton_v_U]

In het kader waarvan wil je dit weten, waaraan moet het antwoord voldoen?
Wel een leuk probleem, kan me nauwelijks inhouden om er aan te gaan rekenen
Ongetwijfeld bestaan hier kant en klare modellen voor maar de lol is om zelf wat te verzinnen.
 
Je kunt met differentievergelijkingen werken denk ik en wat simuleren om inzicht te krijgen. Als je het niet te ingewikkeld maakt kun je wellicht gesloten uitdrukkingen vinden voor het aantal zieke personen als functie van de tijd. De analytische tool voor het oplossen van lineaire differentievergelijkingen is z-transformatie (discrete vorm van Laplace). Meestal is simuleren gemakkelijker. Kan bijvoorbeeld in Excel of Matlab.
 
Modelschets:
Kans dat iemand besmet wordt is:

•  0 als iemand besmet is en/of de ziekte heeft of als iemand resistent is.
•  evenredig met het aantal mensen dat besmettelijk is voor gezonde, niet resistente mensen (is aanname)

Belangrijke aanname

• iemand die ziek is geweest, is resistent

 
Parameters:
Beginconditie: ken aantallen toe aan elke status.
Besmettingskans (evenredigheidsconstante)
Iemand is besmettelijk in een vastgestelde periode na het moment van besmetting.
Iemand is ziek in een vastgestelde periode na de besmetting
Houd rekening met een incubatietijd en houd er rekening mee dat de periode dat iemand besmettelijk is niet noodzakelijk overeenkomt met de periode dat iemand ziek is.
 
Populatie indelen in de volgende statussen (ze hoeven niet allemaal mogelijk te zijn):
opm.  de status gezond, niet resistent, wel besmettelijk lijkt me niet praktisch.

• Gezond, niet resistent
• Gezond, resistent, niet besmettelijk
• Besmet, niet ziek, niet besmettelijk
• Besmet, niet ziek, wel besmettelijk
• Ziek, niet besmettelijk
• Ziek, besmettelijk
• Gezond (ziek geweest) resistent en nog besmettelijk (waarsch. niet praktisch)

 
Je kunt misschien een markovketting opstellen, dat is een krachtige manier om de dynamica van een systeem met objecten die volgens vastgestelde regels van status kunnen veranderen te onderzoeken en het is gemakkelijk te simuleren, al moet je dan wel wat trucjes uithalen als je wilt afdwingen dat een object een vaste tijd in een bepaalde toestand blijft (de toestand "ziek" kun je splitsen in 0 dagen ziek, 1 dag ziek etc en elke volgende dag spring je naar de volgende toestand, uiteindelijk, na bijvoorbeeld 6 dagen ziek spring je naar gezond, resistent). Kan allemaal in excel gemodelleerd worden met een beetje handigheid.
 
Je kunt de statistiek nog wat verrijken door voor alle tijdsduren een kansverdeling op te leggen en te simuleren. Eventueel een overlijdensrisico. Verder fantaserend kun je het effect simuleren wat er gebeurt als in een periode een aantal mensen niet is ingeënt (ingeënt = gezond, resistent zonder ziek te zijn geweest)  etc. Maar begin vooral simpel.

[the4dimensions]

Inderdaad een leuk concept! Het heet een SIR-model en je zal differentiaalvergelijkingen moeten gebruiken.
Je kan beginnen met een simpel schema:

\(Vatbaar (Susceptible) \xrightarrow{\beta} Besmet (Infected) \xrightarrow{\gamma} Genezen (Recovered)\)

\(\beta\)

is de snelheid waarmee de besmette mensen de vatbare besmetten/ hoeveel contacten er moeten zijn tussen besmette mensen en een vatbaar persoon om deze persoon te besmetten.

\(\gamma\)

is de snelheid waarmee de besmette mensen genezen.

\(S(t)\)

is het aantal mensen dat vatbaar is op tijdstip t.

\(I(t)\)

is het aantal mensen dat geinfecteerd is op tijdstip t.

\(R(t)\)

is het aantal mensen dat genezen is op tijdstip t.
 
Nu kan je vergelijkingen opstellen. Zo is bv.

\(\frac{dS}{dt} = -\beta SI\)

Later kan je het model uitgebreider maken door bv. vaccinatie toe te voegen ( een pijl van vatbaar meteen naar genezen, met snelheid a).

Wil je nog de incubatieperiode er bij nemen, moet je tussen "vatbaar" en "besmet" nog een groep voorzien: "Geinfecteerd"
 
Het toeval wil dat ik hier onlangs een les over heb gevolgd

[wetenschapper7]

the4dimensions heb je daar toevallig iets van docyumenten van die ik zou mogen gebruiken. 
 
Anton, voor onze opdracht mogen we geen simulaties gebruiken maar wel differentievergelijiingen. Nog tips? 

[the4dimensions]

Wellicht ben je hier iets mee?
http://www.maa.org/publications/periodicals/loci/joma/the-sir-model-for-spread-of-disease-the-differential-equation-model
 
Mijn bladen lijken hier sterk op, maar dan in het Nederlands en een klein beetje meer uitleg. Ik kan ze wel niet inscannen aangezien ik dat niet heb, het beste wat ik kan doen is er foto's van nemen. Maar begin eerst en vooral al eens met de link en opzoekingswerk: SIR-model, SEIR-model,...