Griekse logica: equivalente syllogismen

[physicalattraction]

Ik ben het boek Language, Logic and Mathematics aan het lezen, en meer specifiek het hoofdstuk Greek logic, dat over de syllogismen van Aristoteles gaat. Hier wordt een opmerking geplaatst, die enkele stappen overslaat, en die ik zelf niet gereproduceerd krijgt. Ik probeer hier de kern neer te leggen, zonder dat ik het hele hoofdstuk hoef over te typen.
 
Stelling (proposition)
Een stelling is een zin die waar of onwaar is. In de Griekse logica bestaat deze uit een onderwerp (subject, S) en een predicaat (predicate, P), welke verbonden zijn met een verbindingsstuk. Er zijn vier verbindingen mogelijk:
SaP: all S is P
SeP: no S is P
SiP: some S is P
SoP: some S is not P
 
Syllogismen
Een syllogisme is een argument (reeks van stellingen), die bestaat uit drie stellingen, waarbij uit de eerste twee stellingen (de premissen genoemd) de derde stelling logisch volgt. Een bekend voorbeeld is: "Alle mensen zijn sterfelijk. Socrates is een mens. Socrates is sterfelijk." Het onderwerp van de derde stelling wordt behandeld in de tweede stelling, het predicaat van de derde stelling wordt behandeld in de eerste stelling. Zo een syllogisme verloopt dus altijd via een middenterm (middle term, M), en kan op vier manieren opgebouwd worden:
1) MxP, SxM --> SxP
2) PxM, SxM --> SxP
3) MxP, MxS --> SxP
4) PxM, MxS --> SxP
Met x een van de vier letters a, e, i of o, zoals hierboven gedefinieerd. Er zijn dus 256 mogelijke syllogismen, maar het blijkt dat er maar een beperkt aantal een geldig syllogisme is, namelijk:
Uit groep 1: aaa, eae, aii, eio
Uit groep 2: eae, aee, eio, aoo
Uit groep 3: aai, iai, aii, eao, oao, eio
Uit groep 4: aai, aee, iai, eao, eio
 
Redundantie
De schrijver gaat nu verder door alle redundante syllogismen eruit te filteren. Dit zijn syllogismen met equivalente stellingen, waardoor de ene in de andere omgeschreven kan worden. Een voorbeeld is: eae uit groep 2 is equivalent aan eae uit groep 1 of aee uit groep 4 is equivalent aan aee uit groep 2. DIt kun je inzien doordat bijvoorbeeld SeM en MeS (no S is M / no M is S) eigenlijk dezelfde stelling is.
 
Tot zover is het me duidelijk, maar nu gaat de schrijver verder met:

If the conclusion is e or i, we may interchange S and P, at the same time changing the two premises. In this way:
4) aai becomes 1) aii
3) iai becomes 3) aii
3) aai is unchanged
2) aee becomes 2) eae

Ik snap dat als SiP (some S is P), dan ook PiS (some P is S), dus dit zal hij wel bedoelen met interchange S and P. Maar hoe moet ik de premises veranderen, dusdanig dat 4) aai overgaat in 1) aii?
4) aai ==> PaM, MaS --> SiP ==> all P are M, all M are S --> some S are P
1) aii ==> MaP, SiM --> SiP ==> all M are P, some S are M --> some S are P
 
Dus: hoe kan ik bewijzen dat deze twee syllogismen equivalent zijn?

[Flisk]

Ik heb nog nooit Griekse logica bestudeert dus er kan een foutje in zitten.
 
Vertrekkende van 4aai:
all P are M, all M are S --> some S are P
dus (interchange in rechterlid)
all P are M, all M are S --> some P are S
​dus (hernoem P en S naar respectievelijk S en P)
all S are M, all M are P --> some S are P
dus
all M are P, all S are M  --> some S are P
 
Dit lijkt nu wel al heel erg op 1aii, als je dan gebruik maakt van
all S are M => some S are M
ben je er.
 

Als 1aii dus klopt, klopt sowieso 4aai ook en mag je die weglaten (de premissen 4aai impliceren immers die van 1aii).