\(\frac{\partial}{\partial x}f=\frac{\partial}{\partial x}(g_1\circ g)=\vec{\nabla}g_1\cdot\begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}g_2(g_3(y,z))\\ \frac{\partial}{\partial x}g_4(z)\\ \frac{\partial}{\partial x}g_5(g_6(x,z),y,x)\\\frac{\partial}{\partial x}g_7(g_8(g_9(y,z)))\\\frac{\partial}{\partial x}x\end{bmatrix}\)
\(=\vec{\nabla}g_1\cdot\begin{bmatrix}0\\0\\ \frac{\partial}{\partial x}g_5(g_6(x,z),y,x)\\0\\1\end{bmatrix}\)
We bekijken eens die afgeleide op de derde rij, hierop kunnen we nog eens de kettingregel toepassen, definieer functie h zodat:
\(g_5(g_6(x,z),y,x)=g_5\circ h\)
Waarbij\(h:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3:(x,y,z)\to (g_6(x,z),y,x)\)
Dan krijg je\(\frac{\partial}{\partial x}g_5(g_6(x,z),y,x)=\frac{\partial}{\partial x}(g_5\circ h)=\vec{\nabla}g_5\cdot\begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}g_6(x,z)\\ \frac{\partial}{\partial x}y\\ \frac{\partial}{\partial x}x\end{bmatrix}\)
\(=\vec{\nabla}g_5\cdot\begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}g_6(x,z)\\ 0\\ 1\end{bmatrix}\)
Vul dit nu terug in en je krijgt als eindresultaat:
\(\frac{\partial}{\partial x}f=\vec{\nabla}g_1\cdot\begin{bmatrix}0\\0\\ \vec{\nabla}g_5\cdot\begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial x}g_6(x,z)\\ 0\\ 1\end{bmatrix}\\0\\1\end{bmatrix}\)
EDIT:
Je kan uiteraard die matrixvermenigvuldigingen uitwerken, dan krijg je hetzelfde als Emveedee in bericht zes. Ik ben echter geen voorstander van notaties zoals
\(\frac{\partial g_1}{\partial g_2}\)
dus daarom doe ik dit niet. Verdere uitwerking zou ik pas doen indien al die gi's gegeven zijn.
