gravitationele tijddilatatie in een kleiner heelal

[Michel Uphoff]

(In vervolg op de discussie hier)
 
Luboš Motl leidt hier de roodverschuiving/tijddilatie t.g.v. het gravitatiepotentiaal in het centrum van de Aarde af, en komt tot het volgende:
 

\(\Phi = -\frac{GM}{R_a} - g(R_a) \frac{R_a}{2} = -\frac 32 \frac{GM}{R_a} = -\frac 32 g(R_a) R_a\)

R_a=straal aarde, g(R_a) is de versnelling van de zwaartekracht bij die straal (aan het oppervlak dus). Ik zie geen fouten in die afleiding.
 

\(\frac{-\frac 32 g(R_a) R_a}{c^2}\)

Levert dan de roodverschuiving op. Berekenen we dit voor het centrum van de Aarde, dan krijgen we: (G = 6,67.10^-11, massa 5,98.10²⁴ kg, straal 6378 km, c 299790 km/s). g = G * M / r²  = (6,67.10^-11) * (5,98.10²⁴) / (6,378.10⁶)²= 9,81 m/s². Daaruit volgt:
 

\(\frac{-\frac 32*9,81 *6.378.000}{8,987.10^{16}}=-1,044.10^{-9}\)

De tijd in het centrum van de Aarde verloopt ruwweg iedere miljard seconde een seconde trager vergeleken met een punt oneindig ver van de aarde. Ongeveer een seconde per 30 jaar. Halveer ik de straal bij gelijkblijvende massa (we comprimeren de Aarde dus, de dichtheid wordt 8 maal groter) en bereken ik hetzelfde:
 

\(\frac{-\frac 32*39,22 *3.189.000}{8,987.10^{16}}=-2,088.10^{-9}\)

De roodverschuiving verdubbelt, en de tijd in het centrum loopt per 15 jaar een seconde achter. Halvering van de straal levert bij gelijke massa een verdubbeling van de roodverschuiving op. Dat is logisch, want halveren van de straal levert een vier keer zo grote oppervlaktegravitatie in de teller van de formule van Luboš Motl op, en omdat de straal ook in de teller staat is het resultaat eenvoudigweg omgekeerd evenredig. Ik had mij het rekenwerk kunnen besparen  .
 
In dit berichtje wordt de schaalfactor van het heelal op basis van de wet van Boltzmann berekend, samengevat: De CMB temperatuur is nu 2,725K en was toen 3000K, dus de schaalfactor moet ongeveer 1100 zijn. Afstanden tussen niet gebonden objecten waren dan 360.000 jaar na de oerknal een factor 1100 kleiner, en het heelal was ruwweg 1100³ dichter dan nu.
 
Dan doemt de volgende vraag op: Kan/mag je uitgaande van die omgekeerde evenredigheid tussen straal en roodverschuiving een poging wagen de tijddilatatie tussen 380.000 jaar na de oerknal en nu te berekenen, of maak je dan een joekel van een conceptuele fout?

[Bartjes]

Interessante kwestie. Uitgangspunt is kennelijk:
 

The rule I mentioned in another question, that the time dilation factor is 1 + ΔΦ/c², applies here. The derivation (found in various textbooks) depends only on the assumptions that fields are weak and matter is nonrelativistic, both of which are true for the Earth.

 
Daar heb je al direct de eis dat het veld zwak moet zijn...

[Michel Uphoff]

Zwarte gaten en zo komen er niet aan te pas, terwijl de eigenbeweging van de materie ook niet tot relativistische snelheden oploopt. Maar domweg stellen dat de tijddilatatie dan 1100 * 1,044.10^-9 is lijkt mij toch wat al te simpel.
 
Mocht dit onverwacht toch ongeveer correct zijn, dan is de tijddilatatie door het afnemende gravitatiepotentiaal met 1 seconde per miljoen seconden volledig verwaarloosbaar. De Z waarde t.g.v. het potentiaal is dan 0,000001 en heeft nauwelijks een aandeel in de Z=6 t.g.v. de Hubble expansie voor de gemeten roodverschuiving van de verst verwijderde objecten.

[Ruud1234]

 Maar domweg stellen dat de tijddilatatie dan 1100 * 1,044.10^-9 is lijkt mij toch wat al te simpel.

 
Ik ben niet best in de berekeningen, maar waarom zegt u 1100 * 1,044.10^-9 in plaats van 1100^{3 *}1,044.10^-9?
Het heelal is in 3 dimensies kleiner geworden.

[Michel Uphoff]

Omdat het potentiaal van de straal, en niet van de inhoud afhangt.

 

Halvering van de straal levert bij gelijke massa een verdubbeling van de roodverschuiving op.

Maar, nogmaals, het lijkt mij niet zo waarschijnlijk dat die eenvoudige berekening klopt.

[Ruud1234]

Laat ik er van uit gaan dat de berekening klopt, ik kan het toch niet aantonen als het anders is.
Ik zou een setje nieuwe natuurkundeboeken aan moeten schaffen, om die formules weer boven water te krijgen.
Wat ik niet zeker weet, is of je de aanname kunt doen, dat de aarde vergelijkbaar is met het heelal.
De aarde heeft een buitenkant en het heelal heeft een tja.....waarnemingshorizon?
Van buiten onze waarnemingshorizon, wordt er ook getrokken aan de massa in het voor ons zichtbare heelal.
Dat is een duidelijk andere situatie dan een massieve homogene bol.
Verder waren deeltjes en later zonnen en planeten in verhouding tot het heelal groter dan tegenwoordig.
Die zonnen en planeten waren (bijna?) net zo groot als tegenwoordig.
Ze zaten dus niet alleen dichter bij elkaar, namen ook meer van de ruimte in beslag.
 
Een interessante gedachte is, of die in verhouding tot het heelal grotere atomen ook gevolgen heeft voor het foton dat werd geproduceerd, als een electron van baan versprong.

[Michel Uphoff]

Van buiten onze waarnemingshorizon, wordt er ook getrokken aan de massa in het voor ons zichtbare heelal.

 
Leg eens uit hoe wij dat zouden kunnen merken, hoe dat 'ons' gravitatiepotentiaal zou kunnen beïnvloeden ( zie ook hier ).
 

Die zonnen en planeten waren (bijna?) net zo groot als tegenwoordig.

 
380.000 jaar na de oerknal waren er nog geen sterren en planeten, en het gravitatiepotentiaal in het heelal is afhankelijk van de diameter en de massa (dus de dichtheid) van het heelal tot de waarnemingshorizon, niet van diameter van sterren of planeten.

[Ruud1234]

Leg eens uit hoe dat dan zou werken. ( zie ook hier )

 
Vlak over de grens van de waarnemingshorizon, zijn ook sterrenstelsels.
Die kunnen ons nu niet meer beinvloeden, maar lagen in het verleden nog binnen de waarnemingshorizon.
Toen moet hun massa nog invloed hebben gehad op de ontwikkeling van ons heelal.
 
Verder waren deeltjes en later zonnen en planeten in verhouding tot het heelal groter dan tegenwoordig.

Die zonnen en planeten waren (bijna?) net zo groot als tegenwoordig.
Ze zaten dus niet alleen dichter bij elkaar, namen ook meer van de ruimte in beslag.
 
Die zonnen en planeten kwamen later.
Ik vraag me alleen af wat ik me voor moet stellen bij het heelal als de massa daarin zo dicht bij elkaar zit en wat dat nog voor invloed kan hebben op het heelal.
 

380.000 jaar na de oerknal waren er nog geen sterren en planeten, en het gravitatiepotentiaal in het heelal is afhankelijk van de diameter en de massa (dus de dichtheid) van het heelal tot de waarnemingshorizon, niet van diameter van sterren of planeten.

 
Het gravitatiepotentiaal van het heelal hangt van de totale massa en totale inhoud van het heelal af.
 
Op kleiner schaal, verandert er waarschijnlijk wel een hoop, als de massa in verhouding groter (in volume) is ten opzichte van het heelal.
De gravitatieputten van de materie zijn veel minder stijl dan in het huidige heelal lijkt me.
Ze zullen ook minder ver wegzakken in de ruimte, door hun grootte.

Wat voor conclusies je daar aan zou moeten verbinden (als u het met me eens bent) zie ik nog niet zo gauw.

[Anton_v_U]

In mijn logica, niet gehinderd door enige diepgaande kennis van GRT:
 
Kort na de oerknal was de gravitatie veel groter. Voor ons is nu de gravitatie veel kleiner.
Een signaal wordt kort na de oerknal uitgezonden (grote gravitatie),
Het signaal wordt nu door ons ontvangen (kleine gravitatie).
Het verschil in gravitatie tussen bron en ontvanger leidt tot tijd dilatatie, een spectrum dat wij waarnemen is daarom rood verschoven ten opzichte van het spectrum dat is uitgezonden, veroorzaakt door het gravitatieverschil. 
 
Het lijkt me dar de GRT dit zou moeten kunnen bevestigen of ontkrachten - ik heb eerlijk gezegd geen idee.
 
Als dit klopt, dan leidt de tijd dilatatie door de veranderde gravitatie voor ons dus tot een lagere waargenomen frequentie = roodverschuiving. Ik heb geen idee hoe deze roodverschuiving zich verhoudt tot de roodverschuiving door relatieve snelheid van objecten waarvan wij de straling van kort na de oerknal ontvangen, maar het lijkt logisch dat beide effecten tegelijk optreden en elkaar versterken. 
 
Dat gedurende de reistijd van het signaal de tijd dilatatie toenam door dalende gravitatie doet er verder denk ik niet zoveel toe want de lichtsnelheid blijft constant; alleen de frequentie van het signaal als waargenomen op de aarde op verschillende tijdstippen is niet constant.
 
Ik ben zoals gezegd niet zo thuis in GRT dus neem mijn opmerkingen met de nodige korrels zout. Ik stel het (zoals altijd) op prijs als mijn opmerkingen door een deskundige onderuit worden gehaald (zou niet de eerste keer zijn)

[Michel Uphoff]

@ Anton_v_U
 
Dat klopt m.i. ruwweg prima zo.
 
Er is een detail dat niet vergeten mag worden, we kunnen niet 'achter' de kosmische achtergrondstraling van 380.000 jaar na de oerknal kijken. Alle roodverschuiving (expansie) die we kunnen waarnemen is dus van latere datum. In het aanvangsstukje meld ik dat de schaalfactor sedert deze zogenoemde recombinatie na 380.000 jaar ongeveer 1100 is. Ga ik er wat aan rekenen, (en maak ik daarbij geen conceptuele fouten) dan blijkt dat het effect van sterkere gravitatievelden door een compacter heelal in het verleden zo goed als verwaarloosbaar is, en dat dus de waargenomen roodverschuiving vrijwel geheel aan de expansie van het heelal te wijten is. De verst waargenomen objecten vertonen een roodverschuiving (Z) van 6, terwijl het aandeel gravitationele roodverschuiving daarin volgens bovenstaande sommetjes ongeveer 1 miljoenste zou zijn.
 
@Ruud1234
 

Het gravitatiepotentiaal van het heelal hangt van de totale massa en totale inhoud van het heelal af.

 
Als je met de totale massa en inhoud ook alles buiten het waarneembare heelal bedoelt, zou dat inhouden dat gravitatie sneller gaat dan het licht, dat kan niet. Verder gaat het zoals gezegd alleen om de dichtheid (massa en straal) van het heelal. Dat dat inhoudt dat grosso modo hemellichamen en deeltjes dichter bij elkaar staan (m.u.v. gebonden structuren) en naar verhouding tot de straal van het waarneembare heelal dan groter zijn spreekt voor zich, en ligt al besloten in die grotere dichtheid.

[Anton_v_U]

 
Dan doemt de volgende vraag op: Kan/mag je uitgaande van die omgekeerde evenredigheid tussen straal en roodverschuiving een poging wagen de tijddilatatie tussen 360.000 jaar na de oerknal en nu te berekenen, of maak je dan een joekel van een conceptuele fout?

 
 

 De verst waargenomen objecten vertonen een roodverschuiving (Z) van 6, terwijl het aandeel gravitationele roodverschuiving daarin volgens bovenstaande sommetjes ongeveer 1 miljoenste zou zijn.

 
Volgens mij is het antwoord op je vraag dan (waarschijnlijk) dat het kan en mag maar dat het effect irrelevant en niet waarneembaar is.
 
Net zoals je kunt en mag berekenen dat Bolt op de 100m te weinig heeft gelopen (volgens hemzelf, niet volgens de scheidsrechter langs de kant) toen hij de eindstreep heeft bereikt doordat de baan voor hem korter is door zijn snelheid. Dat doet er niet toe want dit verschil is in de orde van 1 tienduizendste van de afmeting van een verfmolecuul. Probeer de eindstreep maar eens 1/10000 verfmolecuul te verleggen, zal niet meevallen. En de scheidsrechter zou protesteren als we de baan langer maken dan 100m.

[WillemB]

Als de lichtsnelheid constant is , is ook de verhouding tussen massa afstand en tijd constant.
dat was dus x miljard jaar geleden ook zo, ook toen was C constant, en dus ook de verhouding tussen de eenheden.
 
Een waarnemer die lang genoeg geleefd zou hebben, zou dus geen verschil moeten zien, voor hem blijft de 
afmeting de massa en tijd hetzelfde. Ondanks een waarnemer buiten het stelsel iets anders zou waarnemen.
maar we mogen geen verschillende stelsels met elkaar vergelijken.
 
Het enigste waar de waarnemer iets aan kan vermoeden is de rood verschuiving.
 
Dus toen het heelal x miljard jaar gelden veel kleiner was, weet je niet welke van de drie ( massa, afmeting of tijd)
anders was, tenslotte was de verhouding gelijk gebleven, vergelijking met drie onbekenden.
 
Dan zou je dus een van de twee referenties als uitgangspunt moeten nemen, om berekeningen te maken,
welke in de verhouding het meest veranderd is.

[Ruud1234]

@Ruud1234
 
 
Als je met de totale massa en inhoud ook alles buiten het waarneembare heelal bedoelt, zou dat inhouden dat gravitatie sneller gaat dan het licht, dat kan niet. Verder gaat het zoals gezegd alleen om de dichtheid (massa en straal) van het heelal. Dat dat inhoudt dat grosso modo hemellichamen en deeltjes dichter bij elkaar staan (m.u.v. gebonden structuren) en naar verhouding tot de straal van het waarneembare heelal dan groter zijn spreekt voor zich, en ligt al besloten in die grotere dichtheid.

 
Nee ik bedoelde niet dat de massa buiten de waarnemingshorizon meetelt met de massa van het heelal.
Ik bevestigde wat u eerder zei.
 
Maar binnen zo'n discussie krijg je ook nieuwe denkbeelden.
Zoals die zonnen die wel erg dicht bij elkaar staan.
 
 
Toch zit ik nog wel even met dat punt.
De massa dicht bij de waarnemingshorizon, heeft een eigen heelal, waarin ook massa zit die buiten onze waarneminghorizon zit.
Die massa dicht bij de waarnemings horizon, wordt ook door die massa beinvloed.
Dat zou dan over miljarden jaren ook ons moeten beinvloeden.
Waarschijnlijk zal dit verhaal niet kloppen, maar ik zie ook niet waar het fout gaat.
 
Ik denk trouwens dat ik nog wel een onjuistheid heb gevonden in uw redenering.
U bent uitgegaan met het samenpersen van die bol en de straal te halveren en daar een berekening op los te laten.
Dat komt in zoverre niet met het heelal overeen, dat het heelal uitzet, maar dat er ook massa achter de waarnemingshorizon is verdwenen.
De hoeveelheid massa in het heelal is nu kleiner dan vroeger.
 
Voor de berekening met de bol, had u dus ook nog massa toe moeten voegen.

 
 
 
Volgens mij is het antwoord op je vraag dan (waarschijnlijk) dat het kan en mag maar dat het effect irrelevant en niet waarneembaar is.
 
Net zoals je kunt en mag berekenen dat Bolt op de 100m te weinig heeft gelopen (volgens hemzelf, niet volgens de scheidsrechter langs de kant) toen hij de eindstreep heeft bereikt doordat de baan voor hem korter is door zijn snelheid. Dat doet er niet toe want dit verschil is in de orde van 1 tienduizendste van de afmeting van een verfmolecuul. Probeer de eindstreep maar eens 1/10000 verfmolecuul te verleggen, zal niet meevallen. En de scheidsrechter zou protesteren als we de baan langer maken dan 100m.

 
Het is op zich niet zo belangrijk, of een effect waarneembaar is.
Het gaat om de vraag hoe het heelal werkt.

[Ruud1234]

Als de lichtsnelheid constant is , is ook de verhouding tussen massa afstand en tijd constant.
dat was dus x miljard jaar geleden ook zo, ook toen was C constant, en dus ook de verhouding tussen de eenheden.
 
Een waarnemer die lang genoeg geleefd zou hebben, zou dus geen verschil moeten zien, voor hem blijft de 
afmeting de massa en tijd hetzelfde. Ondanks een waarnemer buiten het stelsel iets anders zou waarnemen.
maar we mogen geen verschillende stelsels met elkaar vergelijken.
 
Het enigste waar de waarnemer iets aan kan vermoeden is de rood verschuiving.
 
Dus toen het heelal x miljard jaar gelden veel kleiner was, weet je niet welke van de drie ( massa, afmeting of tijd)
anders was, tenslotte was de verhouding gelijk gebleven, vergelijking met drie onbekenden.
 
Dan zou je dus een van de twee referenties als uitgangspunt moeten nemen, om berekeningen te maken,
welke in de verhouding het meest veranderd is.

 
Hoewel het heelal uitzet, geldt dit niet voor bijvoorbeeld materie
Of bijna niet, daar zijn de meningen over verdeeld blijkbaar.
De materie wordt dus in verhouding groter in het heelal naarmate je verder naar het verleden gaat.
Als je die factor 1100 aanhoudt, dan zou onze buurman Proxima Centauri op ruim 1 lichtdag van ons af staan.
Dat ziet er toch heel anders uit dan tegenwoordig.
Daarbij vergeten we gemakshalve maar even dat die ster toen nog niet bestond.

[Anton_v_U]

Het is op zich niet zo belangrijk, of een effect waarneembaar is.
Het gaat om de vraag hoe het heelal werkt.

 
Het onderscheid dat je suggereert bestaat niet.
 
Alles wat we weten over hoe het heelal werkt, is terug te voeren op waarnemingen. Waarnemingen zijn essentieel. We zouden nagenoeg niets weten als "we" niet al een paar duizend jaar hadden nagedacht over wat we waarnemen, als we al deze kennis niet systematisch hadden vastgelegd, als we niet diep hadden nagedacht over de implicaties van wat we waarnemen.  
 
Een goed begrip over welke verschijnselen waarneembaar of relevant zijn in welke situatie is essentieel in het begrip van de wereld (of het heelal als je "Groot" denkt). Als je het idee hebt dat alle tijgers in de dierentuin zo af en toe door het hek van hun kooi heen tunnelen, dan ben je toch wat nerveuzer dan nodig als je door de dierentuin loopt.