Poisson verdeling

[eyimfihlo]

Hallo, is er iemand die mij simpel en duidelijk de Poisson verdeling kan uitleggen?

Ik heb het al geprobeerd te googlen maar ik snap er nog niet veel van...

Alvast bedankt!

[Timmoty]

Deze wikipediapagina geeft wel een aardig duidelijke uitleg: http://nl.wikipedia.org/wiki/Poissonverdeling. Heb je ergens specifiek problemen mee? Als je aangeeft waar je (precies) vastloopt dan kun je hier denk ik iets gerichter geholpen worden.

[eyimfihlo]

Bedankt voor de reactie, ik ben bezig met een PO voor wiskunde waarin ik de poissonverdeling moet uitleggen.

Maar ik vind kansrekenen erg lastig. Ik weet nu eigenlijk alleen dat de Poissonverdeling de kans berekent op een aantal successen in een bepaald tijdsbestek. En dat n heel groot is en p erg klein.

Voor mij is de wikipedia pagina dan ook te lastig.

[eyimfihlo]

Ik snap ook eigenlijk niet wat het inhoudt dat n groot is en p heel klein. Want n staat ook helemaal niet in de formule.

[Anton_v_U]

Een Poissonverdeling heeft te maken met een aankomstproces. Bijvoorbeeld klanten die bij een kassa in de rij gaan staan. Als er gemiddeld 3 klanten per minuut bij een kassa aankomen, dan kan het best zo zijn dat in een minuut er helemaal geen klant bij komt of dat er in een minuut 6 klanten bijkomen.
 
De voorwaarde voor een Poissonproces is dat het aankomstproces geheugenloos is. Dat betekent dat de kans dat de volgende klant komt binnen laten we zeggen 10 seconde altijd hetzelfde is; het maakt niet uit of er net een klant geweest is en het maakt niet uit als er al een hele tijd geen klant geweest is.
 
Als het aankomstproces aan deze voorwaarde voldoet, dan is het aantal aankomsten in een minuut Poisson verdeeld met parameter  greek028.gif = 3 (gemiddeld aantal in een minuut).
 
De formule met lambda = 3 aankomsten per tijdseenheid waarin je k=6 invult, geeft je dan de kans op k=6 aankomsten in 1 tijdseenheid bij een gemiddelde van   greek028.gif = 3 aankomsten per tijdseenheid en een geheugenloos aankomstproces. Het is een discrete verdeling want aantal aankomsten is een geheel getal groter of gelijk aan nul.
 
 
Merk op dat bij een Poissonverdeling voor gemiddeld 3 aankomsten per minuut een Poissonverdeling hoort voor gemiddeld 180 aankomsten per uur of voor gemiddeld 1/20 aankomst per seconde.
 
Uitgangspunt is dat het een stationair proces is, dwz dat de drukte (verwachtte aantal aankomsten per tijdseenheid) hetzelfde blijft.
 
Ik weet ook niet wat wordt bedoeld met n groot en p klein. Kun je de context geven waarin deze voorwaarde is geformuleerd?

[eyimfihlo]

Ontzettend bedankt voor de reactie, ik geloof dat ik het zo min of meer begrijp.

Dat van de n en de p zou een voorwaarde moeten zijn om de poisson verdeling te kunnen gebruiken. Maar ik heb geen idee wat dat betekent. Er staat iets over op

www.hhofstede.nl/modules/ poissonverdeling.html

Maar begrijpen doe ik het niet.

Een voorbeeld van een context:6. De klantenbalie van een bouwmarkt is 8 uur per dag open (van 9:00 tot 17:00) en er komen gemiddeld per dag 25 mensen bij de balie.

Hoe groot is de kans dat er op een dag na 15:00 nog meer dan 8 mensen langskomen?

[eyimfihlo]

In de voorbeelden lijkt mij de n (wat dan het aantal 'experimenten' voor moet stellen?) ook juist totaal niet groot

[Doctor Who]

Hallo, is er iemand die mij simpel en duidelijk de Poisson verdeling kan uitleggen?

Ik heb het al geprobeerd te googlen maar ik snap er nog niet veel van...

Alvast bedankt!

 
Wat leuk.
Hier heb ik jaren niet meer van gehoord.
Het is idd een verschrikking - zowel om te snappen alswel om het uit te leggen, maar ik doe een gooi.
 
Vergeet even alle theoretische uitleg die je middels google vindt.
Dan blijft de vraag over: "Wat is de praktische waarde ervan?"
 
Nou... de Poisson-distributie vindt zijn toepassing onder meer in computer-programma's die als doel hebben langdurige processen te simuleren.
De functie ervan is het daadwerkelijk laten optreden van een "uitzonderings-situatie".
 
Om dit concreet te maken:
stel, ik simuleer een kruising van twee bestaande wegen;
op die kruising vindt tweemaal per jaar een aanrijding plaats.
 
Hier komt Poisson om de hoek kijken:
hoe groot is de kans dat NU(!) zo'n aanrijding WEL plaatsvindt
- wetende dat dit 2 x per jaar is.
 
Een dergelijke functie geef je dan 2 parameters mee:

1. de dag van het jaar;
2. het aantal gebeurtenissen per jaar.

En dan rolt eruit of de gebeurtenis plaats vindt of niet.
 
Voor wat het waard is
- ik hoop dat je hier iets aan hebt.

[Anton_v_U]

De functie ervan is het daadwerkelijk laten optreden van een "uitzonderings-situatie".

 
Hoe kom je daar bij. De Poissonverdeling wordt toegepast in wachtrij problemen (en vergelijkbare zaken). De functie is het statistisch beschrijven van een geheugenloos proces. 
 
Jouw voorbeeld: de kans dat NU zo'n aanrijding plaatsvindt is nul. De kans dat er binnen nu en een maand een aanrijding plaatsvindt is 1/6 (onder aanname van een geheugenloos stationair proces, geen grotere kans op aanrijdingen in de winter  als het donker is). Het aantal aanrijdingen in een maand is Posson verdeeld met parameter 1/6. (2 per jaar = 1/6 keer per maand). De Poissonverdeling geeft de kans dat er binnen nu en een maand 0 aanrijdingen plaatsvinden of 2 of 200...
 
Uit een kansverdeling rolt niet of een gebeurtenis plaatsvindt. Het is een kansverdeling. Er rolt een kans uit.
 
Het was al uitgelegd, leg het nou niet als mosterd na de maaltijd nog eens foutief uit.

[Doctor Who]

 
Hoe kom je daar bij. De Poissonverdeling wordt toegepast in wachtrij problemen (en vergelijkbare zaken). De functie is het statistisch beschrijven van een geheugenloos proces. 
 
...//...
 
Het was al uitgelegd, leg het nou niet als mosterd na de maaltijd nog eens foutief uit.

 
Ik schreef ooit een programma dat op chromosoom-niveau het voortplanten van een muizenpopulatie moest simuleren.
Bij reductie-deling van geslachtscellen treden cross-over's op - maar niet altijd.
 
Daar heb ik gebruik gemaakt van de Poisson-distributie.
 
En wat je zelf zegt:

 
Uit een kansverdeling rolt niet of een gebeurtenis plaatsvindt. Het is een kansverdeling. Er rolt een kans uit.

daar heb ik geen problemen mee.
 
Ik laat wel aan jou hoe groot de kans is dat de gebeurtenis plaatsvindt dat een moderator dit topic sluit.
Als dat gebeurt vind ik dat erg jammer want jij bent hier niet de TS .

Ik volg dit draadje gewoon met interesse.
Voorts geef ik alleen mijn inbreng - meer niet.

[Anton_v_U]

Ik was misschien weer een beetje te fel. Dat komt doordat ik m'n best deed het goed uit te leggen en nu een verhaal er achter lees dat het begrip niet goed uitlegt. Wellicht kun je wat beter aansluiten, dus de eerdere uitleg aanvullen, nuanceren of als het niet correct is corrigeren. 

[Anton_v_U]

Een voorbeeld van een context:6. De klantenbalie van een bouwmarkt is 8 uur per dag open (van 9:00 tot 17:00) en er komen gemiddeld per dag 25 mensen bij de balie.

Hoe groot is de kans dat er op een dag na 15:00 nog meer dan 8 mensen langskomen?

 
Formeel moet er in de opgave nog staan dat het aankomstproces geheugenloos en stationair mag worden verondersteld (met name stationariteit is in deze context dubieus). Onder die aanname is de berekening:
 
Er komen gemiddeld 3,125 mensen per uur bij de balie. Het gaat om een periode van 2 uur, dus gemiddeld 6,25 in 2 uur. De kans dat er k mensen bij de balie aankomen in deze periode is (met X het aantal klanten tussen 15:00 en 17:00):
 

\(P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }\)

 
Merk op dat het gemiddelde (lambda) niet een geheel getal hoeft te zijn maar X, dat het aantal klanten voorstelt wel. Ook al komen er gemiddeld 6,25 mensen aan, er komen misschien 6 klanten of misschien 7, nooit 6,25.
De kans dat er hooguit 8 mensen bij de balie aankomen is (kans op 0 tm. kans op 8 optellen):
 

\(P(X\leqslant 8)=\sum_{k=1}^{8}\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }\)

 
 
Uitrekenen in Excel:
Gebruik een formule als: =$F$3^E6/FACULTEIT(E6)*EXP(-$F$3) en optellen voor 1..8 (in E6 staat k, F3 Lambda) 
Of (gemakkelijker maar je moet wel weten wat je doet) gebruik de cumulatieve Poissonverdeling: =POISSON.VERD(8,6,25,WAAR)
Uitkomst: 0,820379 (dit is de kans op hoogstens 8 klanten)
 
De kans op meer dan 8 klanten is 1-0,82079 = 0,179621

[tempelier]

Ik snap ook eigenlijk niet wat het inhoudt dat n groot is en p heel klein. Want n staat ook helemaal niet in de formule.

De Poisson verdeling (P.V.) kan worden afgeleid uit de binomiale verdeling (B.V.) met een limiet proces.
Hierin wordt n*p (B.V.) constant gehouden, in de (P.V.) vind je ze daarom niet meer terug.

[eyimfihlo]

Bedankt voor de uitleg ! Het blijft lastig, maar het is me toch een stuk duidelijker geworden.

[Doctor Who]

Ik was misschien weer een beetje te fel. Dat komt doordat ik m'n best deed het goed uit te leggen en nu een verhaal er achter lees dat het begrip niet goed uitlegt. Wellicht kun je wat beter aansluiten, dus de eerdere uitleg aanvullen, nuanceren of als het niet correct is corrigeren. 

 
Okee, wellicht was ik op mijn beurt wat over-enthousiast.

Ik wilde je idd aanvullen en niet overtroeven, want ik vind je voorbeeld van die kassa + klanten verre van verkeerd.

Wellicht had ik daaraan moeten refereren in m'n eerdere reactie.

Net als jij wilde ik het alleen maar goed uitleggen/verduidelijken/aannemelijk maken voor iemand die dit voor het eerst onder ogen krijgt.

En dat vind ik gewoon een uitdaging, dus heb ik ook wat tijd gestoken in m'n eerste reacte.

De meeste tijd ging voor mij op aan het "wegcijferen" van vakkennis:

dit is het wiskunde-subforum en niet biologie.

Het past hier niet om uit te leggen wat chromosomen, DNA-strengen etc. tot in detail inhouden, nietwaar?

Dat is wat ik wilde omzeilen, lees hiertoe het volgende verhaal.

Dat programma waar ik het over had (het simuleren van het fokken van muizen), had als doel aan te tonen hoe een specifieke erfelijke eigenschap zich zou verspreiden onder de nakomelingen van twee voorouders.

Wat we (ik schreef het niet alleen) simuleerden is hoe de chromosoom-portretten (DNA-strings) van alle nakomelingen zouden wijzigen.

Vergeef me - dit is mijn moeilijke punt:

ik ga niet uitleggen wat chromosomen zijn of DNA-strengen;

wel hoe ze wiskundig kunnen worden voorgesteld.

We gaan uit van een 20-tal chomosomen per muis:

• elk chromosoom stellen we voor als een rij 'nulletjes-en-eentjes' (bitstrings);
• 0 en 1 symboliseert de aan- of afwezighied van een erfelijke factor;
• verder verschillen de chromosomen van elkaar vw hun lengte;
• ze zijn altijd paarsgewijs aanwezig cq het totaal is 40.

En nou gaan die muizen zich voortplanten - wat gebeurt dan genetisch?

• Die chromosoom-paren worden van elkaar gescheiden.
• Daarna wordt elk chromosoom gekoppeld aan dat van de partner.
• Aldus ontstaat een geheel nieuw paar.

Maar nou de adder onder het gras:

• het gebeurt wel eens dat tijdens het scheiden van die chromosoom-paren delen worden gewisseld.
• Heel vaak gebeurt dit niet, maar het gebeurt 'soms' wel.

Dit noemen ze in de biologie "cross-overs" en dat kun je als volgt zien.

Stel, ik heb het volgende chromosomen-paar (wiskundig voorgesteld):

11111111111111111111111

00000000000000000000000

dat wordt normaliter natuurlijk gescheiden in 1-> (etc.) en 0 (-> etc.).

Maar in het geval van een cross-over kan dit het resultaat zijn:

11111111111110000000000

00000000000001111111111

en dat is wat we deden.

We hebben de Poisson-distributie gebruikt om de kans op een dergelijke cross-over te simuleren.

Het uitgangspunt?

Dat is het aantal nakomelingen van die muizen.

Als dat er vijf zijn is de kans(verdeling) natuurlijk zeer gering.

Zijn het er 5000, dan is het een ander verhaal.

Dat kun je m.i. idd zien als een "wachtrij-probleem" en die omschrijving vind ik best wel strak.
 
Wanneer we dit schreven?

dat was in 1990 - 25 jaar geleden dus.

Hoe het pcies in elkaar zit weet ik uiteraard niet meer uit m'n hoofd.

Maar de broncodes heb ik nog steeds.

Die wil ik best publiceren, maar dan moet ik wel weer ff in dat project duiken.

En dat zal voor morgen niet zijn, maar ik doe m'n best als je het waardeert.

Greetz,

DW