Formule opstellen

[SEWirdum]

Hoi

Ik moet een formule opstellen voor mijn profielwerkstuk om iets op een makkelijke manier te berekenen. Ik kom er zelf niet uit en mijn wiskunde docent weet het ook niet precies, dus hoop ik dat jullie mij kunnen helpen. Het gaat over het verspreiden van een virus. Ik heb de volgende gegevens;
Iemand steekt 12 dagen lang 2 andere mensen aan
Dus op dag 1 steekt persoon 1 2 andere mensen aan, dan zijn er 3 besmette mensen
Op dag 2 steken dan 3 mensen 2 andere mensen, dan zijn er 9 besmette mensen
enzovoort

Ik heb 2 formules nodig
1tje om te berekenen hoeveel er op een dag bijkomen (bijvoorbeeld hoeveel besmette mensen er op de 15de dag ontstaan)
En 1 om te berekenen hoeveel besmette mensen er op een bepaalde dag zijn (bijvoorbeeld hoeveel besmette mensen er zijn op dag 20)

Ik hoop dat jullie mij hier mee kunnen helpen

[Anton_v_U]

Noem het aantal mensen dat na k dagen ziek is n_k. Op de eerste dag is één persoon ziek, dus n₁=1.
Schrijf een rijtje op: n₁=1. n₂= 3, n₃=9 enz. Steeds drie keer zo veel. Je krijgt dan: 1, 3, 9, ... Welke formule hoort er bij n_k?
 
Als er op zekere dag 81 mensen ziek zijn, hoeveel zieken komen er dan bij op die dag?
Als er op dag nummer k een aantal; van n_k mensen ziek zijn, hoeveel zieken mensen komen er dan bij op dag k?
Gebruik de formule voor n_k voor dit aantal.

[SEWirdum]

Je moet er rekening mee houden dat iemand maar 12 dagen iemand kan besmetten

[Anton_v_U]

n_k is het aantal zieken aan het begin van dag k.
(k=0) n₀ = 3⁰ =1. Je kunt beter bij nul beginnen te tellen.
 
(k=0...12)  n_k=3^k
(k=12) n₁₂ = 3¹²
 
 
(k=13)  aan het einde van dag 12 zijn er n₀ = 1 beter geworden en die kan niemand aansteken dus n₁₃=3(n₁₃-n₀)
(k=14) n₁₄=3(n₁₃-n₁) etc. Uitschrijven, dan zie je snel:
 
(k= 13, 14, ... , 25): n_k = 3(n_k-1-n_k-13): n_k=3^k - (k-12)3^k-12
(k=25) n₂₅=3²⁵-13 3¹³
 
Op dezelfde manier:
(k=26..38): n_k=3^k-(k-12)3^k-12+1/2(k-25)(k-24)3^k-24
wederom gebruik je n_k = 3(n_k-1-n_k-13) waarbij je de wat ingewikkelder formule voor k=13..25 moet gebruiken voor n_k-13. 
 
Ik weet niet hoe ver je door wilt gaan. Je kunt het in excel wel gemakkelijk allemaal uitrekenen. Het wordt snel heel veel. Ik denk dat binnen een maand de hele wereldbevolking ziek is (geweest).
 
Ik ben niet zeker van die laatste formule want het wordt een beetje geklooi maar het zal er op lijken. Er bestaat een gesloten oplossing voor maar het is nogal bewerkelijk want het probleem n_k = 3(n_k-1-n_k-13)  is in essentie een 13 de  orde lineaire differentievergelijkingmet even zoveel beginvoorwaarden n_k = 3^k (k=0..12).