Massamiddelpunt verschillende densiteiten

[BurgieKing]

Beste,
 
Op een oud-examen Analyse II moet je het massamiddelpunt berekenen van een lichaam die uitziet als in de bijlage. 

Het blauw gedeelte heeft densiteit rho1 en het groene rho2. Nu wordt gevraagd het gemeenschappelijk massamiddelpunt te berekenen. Ik neem aan dat je NIET de 2 afzonderlijk mag nemen en dan zomaar het midden mag nemen? Ik veronderstel wel dat het op de werkingslijn van de 2 massamiddelpunten zal liggen, maar heb geen idee hoe uit te zoeken waar precies. 

Alvast bedankt,
 
Jan Devriese
 
 

[Anton_v_U]

Ben je bekend met optellen van vectoren en vector-scalar vermenigvuldiging?
Je mag de twee objecten vervangen door puntdeeltjes met massa m₁ en m₂ in hun massamiddelpunt r1 resp. r2.
De algemene formule voor het mmp van puntdeeltjes met massa m_i op positie ri is:
 

\(\bar{r}_{mmp}=\frac{1}{m_{tot}}\sum_{i}m_{i}\bar{r}_{i}\)

 
Schrijf dit op voor 2 puntmassa's.
 

[Flisk]

De x-coördinaat van het massamiddelpunt van een lichaam L is gedefinieerd als

\(\frac{\iiint_L x\rho(x,y,z)\text{d}V}{\iiint_L\rho(x,y,z)\text{d}V}\)

Voor de y-en z-coördinaat vervang je die x door respectievelijk y en z.

Hier is

\(\rho(x,y,z)\)

dus gelijk aan een constante in het ene stuk van het lichaam en een andere constante in het andere stuk. Je splitst dus best de integralen op in twee.

Je zal sowieso een drievoudige integraal moeten uitrekenen, aangezien je waarschijnlijk met maple werkt is het eenvoudig om gewoon die bovenstaande definitie te gebruiken. Je kan dan copypasten en een keer x vervangen door y en daarna z.

De figuur en densiteit zien er wel symmetrisch uit t.o.v. d z-as dus de x-en y-coördinaat zullen waarschijnlijk nul zijn.

Merk ook op dat die uitdrukking met integralen op hetzelfde neerkomt als die uitdrukking uit Anton_v_U zijn post, met het verschil dat die laatste het discrete geval is.

[Anton_v_U]

Merk ook op dat die uitdrukking met integralen op hetzelfde neerkomt als die uitdrukking uit Anton_v_U zijn post, met het verschil dat die laatste het discrete geval is.

 
Dat is misschien op het eerste gezicht niet zo gemakkelijk te zien maar het kan op deze manier:
 
Het is een nuttige oefening om vanuit de puntmassa-sommatie formulering de dichtheids-integraal formulering af te leiden door de massa m_i op plaats ri te vervangen door Δm = ρ(r)•ΔV, de Δ te vervangen door een d en dus ook de som door een integraal, een driedubbele integraal omdat je alles in een volume optelt. Dergelijke afleidingen komen regelmatig voor in de fysica.
 
Merk daarbij op dat de formule in vectorvorm kan worden geschreven als drie afzonderlijke formules voor de carthesische coördinaten.
 
Als je dat soort dingen een paar keer hebt gezien (en gedaan) dan zie je in één oogopslag dat beide formules conceptueel nagenoeg identiek zijn (als je snapt wat integreren is dan is het een kleine denkstap van sommatie van puntmassa's naar integratie over dichtheid).

[tempelier]

Ik veronderstel wel dat het op de werkingslijn van de 2 massamiddelpunten zal liggen, maar heb geen idee hoe uit te zoeken waar precies.

 
 

 

Beste,
 
Ik veronderstel wel dat het op de werkingslijn van de 2 massamiddelpunten zal liggen, maar heb geen idee hoe uit te zoeken waar precies. 

Alvast bedankt,
 
Jan Devriese
 
 

Bekijk het anders je hebt twee puntmassa's op een bepaalde afstand waar ligt het gemeenschappelijk zwaartepunt?
 
Denk dan eens aan evenwichten op een balans met verschillende armen en verschillende gewichten,
waar moet het mes (draagpunt) zitten voor evenwicht?
Is eigenlijk het zelfde sommetje.
 
Als van de afzonderlijke stukken massa en massamiddelpunt makkelijk te vinden zijn lijkt me dit het makkelijkst.