0,999... = 1 ?

[Michel Uphoff]

Is 0,999..  gelijk aan 1, en mag je dat zo bewijzen?

De drie puntjes (ellipsis) staan voor een oneindige herhaling.

Stel x = 0,999...
 
10 x = 9,999...

   x = 0,999... -

---------------

9  x = 9,000...

>> x = 1,000...

[Flisk]

Tuurlijk. Een andere manier:

\(0,999...=0,333...+0,333...+0,333...=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)

[Michel Uphoff]

M.i. moet je dan eerst bewijzen dat 0,333... gelijk is aan 1/3:
 
10 x = 3,333...

   x = 0,333... -

---------------

9  x = 3,000...
>> x = 3,000... / 9

 

[tempelier]

Het eerste bewijs wat ik leerde was met een meetkundige reeks.
 
x=9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + .....................................
 
De eerste term a=9/10
De rede is 1/10
 
Via de limietsom volgt x=1

[Flisk]

1/3=0,333... kan je ook aantonen a.d.h.v. staartdeling en inductie. 

 

[tempelier]

Is 0,999..  gelijk aan 1, en mag je dat zo bewijzen?

De drie puntjes (ellipsis) staan voor een oneindige herhaling.

Stel x = 0,999...
 
10 x = 9,999...

   x = 0,999... -

---------------

9  x = 9,000...

>> x = 1,000...

Het mag zo voor alle repeterende breuken dat is me bekend.
 
PS.
Er zit wel een addertje onder het gras, ze zijn beide op te vatten als oneindig lange reeksen.
Die mogen niet zomaar in elkaar geschoven worden daar zijn voorwaarden voor.
Hier is echter dik aan voldaan.

[Anton_v_U]

Mag het ook zo? Lijkt mij niets mis mee maar echte wiskundigen zijn weleens onredelijk streng op onverwachte momenten 
 
1 - 0,999.... = 1,000 ... - 0,999 ... =  0,000 ... = 0

[Lx]

Is 0,999..  gelijk aan 1

 
In principe nooit. Het resultaat nadert 1. Je kunt wel met inductie bewijzen, dat 1.00 - 0.{9}_n  van boven nadert tot 0, naarmate n toeneemt.. en dat de benadering (dus) beter is, naarmate je 9's toevoegt !
 
1. neem aan dat 0.{9}_n < 1 blijft voor alle n
2. en dat 0.{9}_n+1 > 0.{9}_n
=> het verschil 1.0-0.{9}_n nadert 0 als n toeneemt
 
Ik ben overigens programmeur, geen wiskundige, maar dit is wat ik me van school herinner voor inductieve bewijzen..

[jkien]

Is 0,999..  gelijk aan 1, en mag je dat zo bewijzen?

De drie puntjes (ellipsis) staan voor een oneindige herhaling.

Stel x = 0,999...

 
10 x = 9,999...

   x = 0,999... -

---------------

9  x = 9,000...

>> x = 1,000...

 
Hier wordt uitgelegd dat je bewijs niet klopt omdat je niet zegt wat je met decimaal geschreven getallen bedoelt. De lezer kan het interpreteren als de verzameling van 'pseudoreele' getallen waarvoor 0.999.. = 1 niet geldt, en de distributieve eigenschap 10·x - x = (10-1)·x ook niet.

[Michel Uphoff]

Hier wordt uitgelegd

 
Mijn ideetje blijkt dus verre van origineel, zoals vaker.
Maar is 0,999... nu wel of niet gelijk aan 1, of is daar geen consensus over?

[mathfreak]

 
Mijn ideetje blijkt dus verre van origineel, zoals vaker.
Maar is 0,999... nu wel of niet gelijk aan 1, of is daar geen consensus over?

Indien je uitsluitend binnen de reële getallen werkt is 0,999... inderdaad gelijk aan 1.

[Anton_v_U]

Ze zijn echt gelijk.
 
Misschien is het volgende bewijs wiskundig acceptabel:
 
Als 0,999... ongelijk is aan 1, dan moet er een verschil zijn tussen 1 en 0,999... dat groter is dan nul. Geef me het verschil, en noem het delta.  
 
Ik geef je dan het aantal 9's achter de komma, bijv. N = -¹⁰ log(delta) +1. Met zoveel 9's is het verschil altijd kleiner. Dat kan altijd want voor elke delta groter dan nul is -log(delta) een reëel getal.
 
Als het verschil bestaat dan is het te groot. Dus het verschil bestaat niet. Dus ze zijn gelijk.

[Flisk]

 De lezer kan het interpreteren als de verzameling van 'pseudoreele' getallen waarvoor 0.999.. = 1 niet geldt, en de distributieve eigenschap 10·x - x = (10-1)·x ook niet.

Dat vind ik wel wat vergezocht van de lezer   

Voor een rigoureus bewijs moet je natuurlijk eerst strakke definities hebben voor de begrippen 'reëel getal' en 'gelijkenis tussen reële getallen'. Daarnaast moet je ook definiëren wat een getal met oneindig repeterende decimalen precies is.

[tempelier]

Dat vind ik wel wat vergezocht van de lezer   

Voor een rigoureus bewijs moet je natuurlijk eerst strakke definities hebben voor de begrippen 'reëel getal' en 'gelijkenis tussen reële getallen'. Daarnaast moet je ook definiëren wat een getal met oneindig repeterende decimalen precies is.

In de definitie van repeteren zit het begrip oneindig al ingebakken.
Beter lijkt me om het begrip ""komma getal"" wat beter duidelijk te maken dan kan simpel via meetkundige  reeksen.
 
PS.
Repeteren is geen eigenschap van een getal,
het hangt van het talstelsel af of een getal al dan niet repeteert.

[Lx]

 
Mijn ideetje blijkt dus verre van origineel, zoals vaker.
Maar is 0,999... nu wel of niet gelijk aan 1, of is daar geen consensus over?

 
De snelle consensus hier is er in elk geval wel. Ik sputterde nog wat. Ik denk dat er een verschil is tussen naderen tot en gelijk zijn aan.
 
Het zal wel de notatiewijze zijn met de drie puntjes, die me op het verkeerde been zette.
Voor elk aantal negens n hou ik een fout over van 0.1*10^-n-1
 
Bij _∞ negens wordt de fout
_0.1*10^-∞^-1 ₌₁₀^-∞ _{= 0}