0,999... = 1 ?

[jkien]

Welke deelverzameling van de reele getallen heeft zo een dubbele decimale representatie? Als je de standaard decimale representatie volgens het algoritme vermenigvuldigt met 0.999.. krijg je de alternatieve representatie:
 
1/2 = 0.500... wordt 0.4999...
1/3 = 0.333... wordt 0.2222...9
1/4 = 0.250... wordt 0.2499...
1/5 = 0.200... wordt 0.1999...
1/6 = 0.166... wordt 0.1555...9
1/7 = 0.[142857]... wordt ?    Is er een korte heldere decimale aanduiding te verzinnen voor (1/7)·0.999...?

[Marko]

Volgens mij moet je er nog meer doorstrepen. 0.5 * 0.9 = 0.45, en *0.09 = 0.045, dus de som wordt 0.4999...

Maar goed, 0.999... = 1. Er zijn hiervoor talloze bewijzen te vinden op "het internet" en ook talloze discussies met lieden die op grond van foutieve bewijzen het tegengestelde beweren.

Ik hoop niet dat zo'n discussie hier nog eens moet worden overgedaan.

[Anton_v_U]

In het 7 tallig stelsel schrijf je (1/7)_dec als (1/10)_{base 7} = (0,1)_{base 7}
Dus is (0,0666...)_{base 7} = (0,1)_{base 7}  = (1/7)_dec = (0,142857..)_dec
En (0,666...)_{base 7} = (1)_{base k} voor elke k in 1,2,3,...

[descheleschilder]

Het lijkt mij duidelijk dat 0,99999... nooit 1 zal bereiken, hoeveel negens je ook achter de 0, zet. Zelfs al zet je oneindig veel negens achter ,0 dan is 1 nog niet bereikt, aangezien 0,9999 met 0, begint en dus nooit gelijk aan 1 zal worden. Bij oneindig negens zit 0 ,9999999... heeeeeel dicht bij 1, maar is er niet gelijk aan. Het verschil nadert weliswaar 0, maar zal nooit 0 worden, ook niet voor oneindig veel negens. De enige manier waarop 1 1 is, is voor 1=1, en de limiet voor het aantal negens na 0,999... is daaro geen 1.

[mathfreak]

Het lijkt mij duidelijk dat 0,99999... nooit 1 zal bereiken.

Toch is het zo. Je kunt deze representatie opvatten als de som van termen van een meetkundige rij met a = 0,9 als eerste term en r = 0,1 als reden. Omdat 0<r<1 zal deze som de limietwaarde

\(\frac{a}{1-r}=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=1\)

hebben, dus kun je de repeterende breuk

\(0,\bar{9}\)

met het getal 1 identificeren.

[Safe]

Het lijkt mij duidelijk dat 0,99999... nooit 1 zal bereiken, hoeveel negens je ook achter de 0, zet. Zelfs al zet je oneindig veel negens achter 

 
Kan je aangeven hoeveel 1 en 0,999... verschillen, Zo ja, geef dat aan!
Zo nee, stel per definitie 1=0,999... 

[Anton_v_U]

Het lijkt mij duidelijk dat 0,99999... nooit 1 zal bereiken

 
Je moet niet denken in termen van bereiken. Het is een getal, niet een getal dat steeds groter wordt naarmate je meer 9's opschrijft want al die 9's stonden er al (en nog oneindig veel meer).
 
Omdat het verschil met 1 kleiner is dan elk positief getal, is het verschil nul. Zie wat Safe hierboven zegt en zie ook post #12.

[317070]

Het lijkt mij duidelijk dat 0,99999... nooit 1 zal bereiken, hoeveel negens je ook achter de 0, zet. Zelfs al zet je oneindig veel negens achter ,0 dan is 1 nog niet bereikt, aangezien 0,9999 met 0, begint en dus nooit gelijk aan 1 zal worden. Bij oneindig negens zit 0 ,9999999... heeeeeel dicht bij 1, maar is er niet gelijk aan. Het verschil nadert weliswaar 0, maar zal nooit 0 worden, ook niet voor oneindig veel negens. De enige manier waarop 1 1 is, is voor 1=1, en de limiet voor het aantal negens na 0,999... is daaro geen 1.

Nu ben je een aantal begrippen door elkaar aan het gooien, lijkt mij:
A) De rij 0, 0.9, 0.99, 0.999 gaat inderdaad nooit 1 bereiken. Maar dat is niet de vraag.
B) De vraag is of 0.99... 1 is. Let, dat getal komt helemaal niet in de rij uit A) voor! Dus de vraag is of de limiet van de rij naar 1 gaat. En in de reële getallen is dat inderdaad zo. Maar het bewijs is niet zo simpel. Waarom niet? Ik kan een getal :epsilon: definiëren dat gelijk is aan 1-0.99...

[holland]

Simpel:
Tel 1 bij 1 op en trek daar 0,99.... van af.
het antwoord = 1,00.......  met op het eind van het oneindige een 1
Met andere woorden 1 + een getal dat kleiner is als het kleinste getal
Het getal wat kleiner is als het kleinste getal is 0
Is dus gewoon 1 + 0
Is 1

[anusthesist]

Het lijkt mij duidelijk dat 0,99999... nooit 1 zal bereiken, hoeveel negens je ook achter de 0, zet. Zelfs al zet je oneindig veel negens achter ,0 dan is 1 nog niet bereikt, aangezien 0,9999 met 0, begint en dus nooit gelijk aan 1 zal worden. Bij oneindig negens zit 0 ,9999999... heeeeeel dicht bij 1, maar is er niet gelijk aan. Het verschil nadert weliswaar 0, maar zal nooit 0 worden, ook niet voor oneindig veel negens. De enige manier waarop 1 1 is, is voor 1=1, en de limiet voor het aantal negens na 0,999... is daaro geen 1.

 
Een slimme gozer die het bij het rechte eind heeft:
 

 
Hij legt het op een eenvoudige manier uit zodat iedereen het begrijpt (en geeft een bewijs dat al genoemd is in dit topic).

[tempelier]

Toch is het zo. Je kunt deze representatie opvatten als de som van termen van een meetkundige rij met a = 0,9 als eerste term en r = 0,1 als reden. Omdat 0<r<1 zal deze som de limietwaarde

\(\frac{a}{1-r}=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=1\)

hebben, dus kun je de repeterende breuk

\(0,\bar{9}\)

met het getal 1 identificeren.

Ik heb dat al in het begin vermeld dacht ik.
Maar ik geeft toe niet met zoveel toelichting. (die onderstelde ik als bekend)

[Math-E-Mad-X]

Het is een keihard onweerlegbaar feit dat:

\(lim_{n\rightarrow \infty} 1 - 10^{-n} = 1\)

 
 
Bovendien geldt dat men normaal gesproken 0,99999... definieert als:

\( 0,99999.... = lim_{n\rightarrow \infty} 1 - 10^{-n}\)

 
Dus hieruit concluderen we dat inderdaad 0,99999.... = 1.
 
En wie het daar niet mee eens is zal dan een andere definitie van het getal 0,99999... moeten geven.
 
(overigens zal onder een alternatieve definitie 0,999999.... geen reëel getal zijn, dus als we als eis stellen dat 0,9999.... een goed gedefinieerd reëel getal moet zijn dan kunnen we niet ontkomen aan de gelijkheid)

[Michel Uphoff]

Math-E-Mad-X: Dus hieruit concluderen we dat inderdaad 0,99999.... = 1

 
Mijn vraag is hiermee volstrekt voldoende beantwoord.
 

Marco: Ik hoop niet dat zo'n discussie hier nog eens moet worden overgedaan.

 
Dat lijkt ook mij niet zinnig, dus laten we dat vooral niet doen en het topic hier eindigen.

[physicalattraction]

Ik zou intuïtief als definitie van 0,999... eerder geven:

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 9 \cdot 10^{-i}\)

.

[Math-E-Mad-X]

Ik zou intuïtief als definitie van 0,999... eerder geven:

\(\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 9 \cdot 10^{-i}\)

.

 
Ja, die is eigenlijk beter, maar het is niet zo moeilijk aan te tonen dat beide definities equivalent zijn.