Relativistische golfvergelijking voor gebonden systemen?

[Boormeester]

Ik ben nu op vakantie in Portugal en had weer wat tijd over. Heb de volgende gedachten op papier gezet. Zie de bijlagen

[descheleschilder]

Om wat voor een gebonden systeem gaat het?

[Boormeester]

Vrij deeltje. Na zijn creatie kan het natuurlijk deel gaan uitmaken van een gebonden systeem. Bijv oiv de elektrische wisselwerking.

[descheleschilder]

Volgens mij is de energie dE van een oneindig dunne cilinderschil (breedte 2x, dikte dy) die om de x-as draait onafhankelijk van het feit of x positief of negatief is. De richting van de snelheid is voor x positief is tegengesteld aan de richting van de snelheid voor x negatief. Vergelijk het met een balletje aan een touwtje dat om de x-as draait. Zowel boven als beneden is de kinetische energie van het balletje gelijk.

[Boormeester]

Je hebt helemaal gelijk. Normaal gesproken is de kinetische (translatie) energie positief en dat komt doordat de snelheid in de formule er kwadratisch instaat (zowel relativistisch als newtonian). Echter in de formule voor de kinetische rotatie energie staat de term w³ en dat betekent dat de rotatie energie zowel negatief als postief kan zijn, afhankelijk van de richting van de hoeksnelheids vector (de rotatie is linksom of rechtsom).
Hanteren we de uitkomsten van Dirac dan is de negatieve rotatie energie equivalent met anti-deeltjes en de postieve rotatie energie met "gewone" deeltjes.
Je kan zelfs een stapje verder gaan en concluderen dat antideeltjes een tegengestelde elektrische lading hebben mbt gewone deeltjes en dat dit dus veroorzaakt wordt door de richting van de hoeksnelheids vector. 
Dirac zegt tevens dat er 2 spin mogelijkheden zijn per deeltje per richting van de hoeksnelheids vector. Dit betekent dan dat er 2 rotatie assen zijn die beide onder een gelijke kleine hoek staan van de voortplantings as: de een met een z-component omhoog en de andere met een z-component omlaag.
Ik denk dat dat komt omdat ik hier reken aan een symmetrisch bolletje terwijl het in werkelijkhed een 3D golfpakketje is.

[descheleschilder]

Ik dacht dat de kinetische energie van een eenparig ronddraaiend object dezelfde vorm had als die van een met een constante snelheid rechtlijnig bewegend object: 1/2mv²⇒1/2Mω²?

[Boormeester]

Die formules zijn niet-relativistisch. Je moet het relativistisch behandelen zoals gedaan in mijn bijdrage.

[descheleschilder]

Dat is waar. Is echter het volume van een dunne cilinderschil niet 2πxdy? Ik zie niet waar, in het eerste papier, de extra vermenigvuldiging met 2y vandaan komt.

[Boormeester]

Een dunne cilinderschil is , als je hem uitvouwt, een rechthoek met als oppervlakte: 2πy*2x
Met een dikte van dy geeft dit een volume van: 2x*2πy*dy
Dit cilinder schilletje draait rond met een snelheid van v=w*y,  waarbij w de hoeksnelheid is.

[descheleschilder]

Maar je schrijft toch over een bol? Dan is het in mijn ogen een ``plakje`` cilinder, en geen ``schilletje`` (de buitenkant van het plakje, uitgevouwen het rechthoekje). Dan heb je als volume de hoogte van het plakje maal de oppervlakte van de cirkel. Ik heb echter nog niet ver genoeg gelezen en ga dat zeker doen. Draait het schilletje als het bolletje zeg naar rechts beweegt dan om de x-as of rondom de y-as, met constante y dus en rxv parallel daaraan?).
P.S.
Portugal deed je volgens mij heel goed! 

[Boormeester]

Dank je. Portugal is heel fijn: niet overbevolkt (er wonen maar grofweg 10 miljoen mensen waarvan de helft in Lissabon en Porto wonen. Blijft over een oppervlakte 2 keer zo groot als Nederland voor 5 miljoen mensen. Geweldig) en dus heel rustig en fijn om te leven.
Je spreekt over een dun schilletje met dikte dy omdat juist dat schilletje als geheel met dezelfde snelheid ronddraait. Het doorsnijdt de bol evenwijdig aan de voortplantingsas (de x-as)/draaiingsas.
Het cilinder schilletje heeft de x-as als draaiingsas, rechtsom of linksom (materie, anti materie/negatieve elektrische lading, positieve elektrische lading).

[descheleschilder]

Ha die Boormeester. Portugal lijkt mij inderdaad een heerlijk land! Ik heb hetzelfde met een klein eiland in Italië, Ischia, vlak bij Napels. Heerlijk! Ik heb daar ooit eens, liggend in het zonnetje, onder een zwoel windje en met een rustgevend geluid van kabbelende golfjes op de achtergrond, een 16x16 Franklin vierkant gemaakt, n.a.v. het 12 x12 vierkant dat toen in het nieuws was. In het 16x16 vierkant zijn ook de halve rijen aan elkaar gelijk, hetgeen bij een 12x12 vierkant niet mogelijk is. Magisch!  Maar goed, we gaan verder.
Is het volume van het schilletje (een oneindig dunne schijf met straal x?) niet gewoon πx²dy? Aangezien x²+y²=R² geldt dan dat het volume daarvan π(R²-y²)dy is. Is de straal niet R i.p.v. y? Het is misschien muggenzifterij maar misschien wel belangrijk voor het vervolg en ik wil gewoon goed begrijpen wat je doet!

[Boormeester]

Er is niet sprake van een schijf maar van een oneindig dun cilindertje (met dikte dy) dat de bol doorsnijdt. Je moet een cilindertje nemen omdat enkel voor het cilindertje geldt dat het met een constante snelheid roteert om de x-as.

[descheleschilder]

Ah! Eindelijk begrijp ik het. Het leek mij ook al zo vreemd dat een schijf om de x-as draait. De twee dubbele lijnstukken stellen de buitenkant van een cilinder voor.  De lijn die door het centrum van de cilinder gaat valt samen met de x-as. Dan snap ik dat het volume inderdaad 2x•2πydy is. Duidelijk. Ik ga weer verder lezen.

[descheleschilder]

Vraagje over een afleiding op pagina 2.
Op een gegeven moment lees ik:
 (1-sin²t)^1/2•-2C₂sin^-3t•cost•dt=-(2C₂/sin³t)•dt (1)
Nu is cos²t+sin²t=1, dus (1-sin²t)^1/2=cost. Betekent dit dat in (1) deze beide termen wegvallen? (1-sin²t)^1/2=cost zegt dat deze twee termen aan elkaar gelijk zijn, maar kan je hen dan weglaten in (1)?