Eigenfrequentie van een wijnglas

[jeffrey91]

Ik heb de resonantiefrequentie gemeten van een wijnglas dat 'zingt' door een natte vinger, bij verschillende waterhoogtes in het glas. Maar ik weet niet of de meetresultaten overeenstemmen met de theorie. De meetresultaten staan in de grafiek, Δh is de afstand van het water tot de glasrand.
 

resonantie 5318 keer bekeken

Is er een formule/model voor deze metingen?

[Jan van de Velde]

Je hebt hier meerdere problemen:

- ten eerste vraag ik me af wát je nou eigenlijk precies aan het trillen brengt. Als ik het goed begrijp is dat het glas zélf, door over de rand te wrijven. Eerlijk gezegd heb ik geen idee hoe watervulling die eigenfrequentie van dat glas beïnvloedt.

Zou het erop neerkomen dat je de lucht in het glas aan het trillen brengt:

- de buik van een staande golf in een halfgesloten cilinder zit nét iets buiten de rand van de cilinder

- de diameter van jouw "cilinder" is nogal groot vergeleken met de vrije diepte ervan. Dat speelt je heel sterk parten bij deze meting als het om luchtkolomtrillingen gaat. de ongetwijfeld bolle vorm van het glas helpt dan ook alweer niet mee om een regelmatig en simpel voorspelbaar verloop te gaan zien.

[E.Desart]

http://en.wikipedia.org/wiki/Glass_harmonica

Je luistert naar de trillingen (modes) van het glas (die natuurlijk de lucht aan het trillen brengen). Je luistert niet naar resonanties van een luchtkolom.

Het water dempt het glas (verhoogde impedantie) en verlaagt de geluidsnelheid in het glas.

Aangezien deze geluidssnelheid een parameter is in de bepaling van de resonantiemodes in dat glas gaat bij meer water de toon verlagen.

Ik ken geen formule om dit juist te quantificeren.

.

[jkien]

Het wijnglas dat ik hier heb zingt op circa 800 Hz. In theorie wrijft mijn vinger schokkerig over het glas volgens het stick-slip effect. Mijn vinger voelt dat het een schokkerige beweging is, de vinger trilt met een frequentie in de orde van 20 Hz, schat ik. Het grote verschil tussen 20 en 800 Hz verbaast me. Zou die 20 Hz werkelijk de resonantie op 800 Hz veroorzaken?

[Michel Uphoff]

Als een enkele tik op het glas een resonantietoon van 800 Hz veroorzaakt, kunnen m.i. 20 korte tikken per seconde dat ook. Als ik dat correct zie, zou ook een tragere of snellere stick-slip frequentie tot een resonantie moeten leiden.

Mogelijk zou de meest luide resonantie te horen zijn als het glas trilt op een hogere harmonische van de stick-slip frequentie..

Het glas vervormt, wat mooi te zien is in dit filmpje (rond 1:50)



Wellicht werkt het andersom: de stick-slip frequentie wordt veroorzaakt of sterk beïnvloed door de resonantiefrequentie van het glas. Mogelijk ziet de vervorming van het glas door slip-stick er anders uit dan in het filmpje hierboven, waar de druk duidelijk vanuit een richting komt. Met meer hobbels en kuilen. De natte vinger schiet dan bij iedere dip in de omtrek van het glas een stukje verder.

Jammer dat daar geen slowmo van te vinden is.

Anderzijds, voor stick-slip is de voorwaarde dat de statische wrijving groter is dan de dynamische- , en mogelijk verzorgt het verschil tussen deze twee samen met de omtreksnelsnelheid van de vinger de s-s frequentie.

Ik ben er dus niet uit.. misschien is het antwoord te vinden bij de theorie achter de strijkinstrumenten.

[Benm]

Als een enkele tik op het glas een resonantietoon van 800 Hz veroorzaakt, kunnen m.i. 20 korte tikken per seconde dat ook. Als ik dat correct zie, zou ook een tragere of snellere stick-slip frequentie tot een resonantie moeten leiden.

Een aardig instrument om te bekijken is de klankschaal, zoals die in azie gemaakt worden. Feitelijk vergelijkbaar met wat het wijnglas doet met je vinger, maar dan aangedreven door een houten staafje dat je langs de rand beweegt. De resonantiefrequentie van die schaaltjes loopt in de honderden hertz tot paar khz.

Bij zo'n klankschaal voel je de trilling in het houtje als je het rond de de rand van de schaal beweegt, en die frequentie lijkt inderdaad fors lager dan het geproduceerde geluid.

Wat er interessant aan is, is dat je een verschil kunt merken tussen statische en dynamische frictie: Om een beetje geluid uit zo'n klankschaal te krijgen moet je de juiste hoeveelheid kracht op het houtje uitoefenen. Bij teveel kracht werkt het niet, en bij te weinig nauwelijks. Dat lijkt me te spreken voor een optimum in de verhouding tussen statische en dynamische wrijving.

[sarel]

Kun je de eigenfrequentie van een wijnglas berekenen met een formule? Bij de standaardformule voor de eigenfrequentie heb je de veerconstante nodig, maar kun je die niet vervangen door een buigconstante van het glas of zoiets?

[jkien]

Bij de standaardformule voor de eigenfrequentie heb je de veerconstante nodig, maar kun je die niet vervangen door een buigconstante van het glas of zoiets?

De standaardformule voor de resonantiefrequentie van een massa en een veer is: \(f_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
French (klik) heeft een formule voor de resonantiefrequentie f₀ van een leeg wijnglas afgeleid uit E_kin+E_pot = constant: \( f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3Y}{5\rho}} \frac{a}{R^2} \sqrt{1+\frac{4}{3} \left (\frac{R}{H} \right)^{4}} \)
(dat is bijvoorbeeld 1 kHz voor een wijnglas met straal R = 3 cm, effectieve hoogte H = 5 cm, wanddikte a = 0.15 cm, en de door French gebruikte schattingen van Y en ρ: Youngs modulus Y_glas = 60 GPa en ρ_glas = 3 g/cm³. French heeft de vorm van het wijnglas vereenvoudigd tot een dunwandige cilinder met een starre cirkelvormige bodem).
 
Dus √(k/m) is als het ware vervangen door √(Y/ρ), en de rest van de formule is een geometrische vormfactor. Merk op dat Y geen 'buigconstante' van het wijnglas is, maar de elasticiteitsconstante voor gewone rek van het materiaal glas. Immers, buigen van de glaswand is rekken van de bolle kant en krimpen van de holle kant. Het is vergelijkbaar met buigen van bimetaal.
 
1 2  

French1983

(562.62 KiB) 3250 keer gedownload

 

extensionalwave 5343 keer bekeken

De stofeigenschap √(Y/ρ) is gelijk aan de geluidssnelheid in een dunne staaf van het materiaal, v_ext , (klik).  Het gaat hier om de geluidssnelheid voor 'extensional waves'. Bij extensional waves is de randvoorwaarde zodanig dat het materiaal kan strekken in de dwarsrichting als het compressiefront passeert.  Behalve v_ext bestaat er ook een 'bulk sound speed', v_bulk , voor 'bulk waves' met de randvoorwaarde dat strekken in de dwarsrichting niet kan. Een tabellenboek als Binas vermeldt slechts een enkele geluidssnelheid per materiaal, zonder te specificeren of het v_ext of v_bulk is. Het lijkt erop dat Binas stilzwijgend wel consequent gekozen heeft voor v_ext. Veel tabellen op internet die slechts een enkele ongespecificeerde geluidssnelheid presenteren bevatten een grilliger mengsel van v_ext en v_bulk . Betere tabellen, zoals 3, vermelden beide snelheden apart. In het algemeen is v_bulk iets groter dan v_ext . Hun relatie is \( v_{bulk} = v_{ext} \sqrt{\frac{1-\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}} \) , waarbij μ de poisson-factor is, een materiaalconstante. Er bestaat ook een formule voor de geluidssnelheid in een dunne plaat, \( v_{plaat} = v_{ext} \sqrt{\frac{1}{1-\mu^2}} \). Voor metalen, glas en keramiek geldt
\( 0,20 < \mu < 0,40 \), zodat \( 1,00 < \sqrt{\frac{1-\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)}} < 1,50 \) en \( 1,00 < \sqrt{\frac{1}{(1-\mu^2)}} < 1,10 \). De drie snelheden zijn dus van dezelfde grootteorde.

Het is curieus dat de formule van French v_ext bevat in plaats van v_plaat , als je bedenkt dat de wand van een wijnglas in feite een dunne plaat is. Misschien heeft French de poisson-factor toevallig vergeten, want sommige andere artikelen over wijnglazen en kerkklokken voegen de poisson-factor wel toe aan de formule: \( f_0 = \sqrt{\frac{Y}{\rho (1-\mu^2)}} \frac{k a}{R^2} \)
3 4
 
 
French (formule 19) heeft ook een formule afgeleid voor de resonantiefrequentie f van een wijnglas dat gedeeltelijk gevuld is met water, tot hoogte h:  \( \left( \frac{f_0}{f} \right)^2 = 1 + c \left (\frac{h}{H^*} \right )^4 \) . Hierbij is \( c \approx \frac{\alpha}{5}\frac{\rho_{water}}{\rho_{glas}}\frac{R}{a} \). French adviseert om twee speciale grafieken zoals hieronder te maken van de gemeten resonantiefrequentie bij verschillende vulhoogtes. De afstand d tussen wateroppervlak en rand van het wijnglas wordt gebruikt in plaats van de vulhoogte h omdat d exact gemeten kan worden, terwijl h=H*-d afhangt van de nog niet precies bekende parameter H* (die ongeveer gelijk is aan de ware hoogte van het drinkglas,  H). Als je de linkergrafiek goed interpreteert laat die zien dat f daalt als het glas gevuld wordt. De linkergrafiek dient om de parameters H* en α van dit wijnglas te schatten, en de rechtergrafiek, die rechtlijnig zou moeten zijn, om het model te testen.
 

french 5323 keer bekeken

 
Jundt (klik, formule 8) heeft een algemenere vorm van de formule gegeven, \( \left( \frac{f_0}{f} \right)^2 = 1 + c^* h^n \) , met een exponent n die afhangt van de vorm van het wijnglas. Voor een cilindrisch glas 3<n<5; voor een parabolisch glas 4<n<6, en voor een kegelvormig glas 5<n<7. Bij een bepaald wijnglas bleek n=5,5 de beste fit. In de formule van Jundt is de parameter H* verplaatst naar de parameter \(c^* = c \cdot (H^*)^{-4}\). Deze parameter is (net als c) recht evenredig met ρ_water , zodat de resonantiefrequentie van een gevuld glas lager is naarmate de vloeistof zwaarder is. Jundt heeft dit experimenteel bevestigd met verschillende vloeistoffen.

[jkien]

Een wijnglas zingt als je over de rand strijkt, en het 'pingt' als je tegen de zijkant van het glas tikt. Van beide geluiden kun je het spectrum bekijken. Het spectrum bevat een duidelijke grondtoon en boventonen. De zing- en ping-grondtonen zijn gelijk, maar de boventonen verschillen sterk. De zing-boventonen zijn harmonisch, de ping-boventonen niet. Vreemd, waarom dit verschil? Zijn de zing-boventonen misschien andersoortige trillingen dan de ping-boventonen (een andere trillingsrichting?).
 

spectrum2 5352 keer bekeken

Ping- en zing-spectrum van mijn wijnglas. De plaats waar op het glas getikt wordt blijkt niet van invloed op de boventoonfrequenties. (Spectrum gemeten met smartphone en android app 'speedy spectrum').
 
De ping-boventoonreeks is niet-harmonisch: hoe groter n des te groter het frequentieverschil tussen de boventonen. Dat past bij de eigentrillingen van een object met dispersie, d.w.z. een golfsnelheid die varieert (toeneemt) met de frequentie. De voortplanting van golven langs de rand van een cilindervat (of wijnglas) vertoont dispersie: de voortplantingssnelheid is ongeveer evenredig met √f. De frequentie van een staande golf is dan evenredig met n².
 
French geeft een formule (24, klik) voor de eigenfrequenties van een cilindervat met vlakke bodem, als model voor een wijnglas:  \(f_n = F \sqrt{\frac{(n^2-1)^2+b^4} {1+\frac{1}{n^2}}} \) waarbij n het nummer van de trillingsmodus is (n=2 voor de grondtoon, vanwege de onderstaande nummering van Chladni-patronen; de grondtoon wordt hier aangeduid als f₂ i.p.v. f₀), en F en b constanten zijn (b = m R/H). Voor grote n is de formule evenredig met n².
 

Eigentrillingen en Chladni-patronen van een cilindervat of cirkelschijf 
 
French stelt dat de boventoonreeksen van wijnglazen het best beoordeeld kunnen worden in een diagram waarin ze volgens het model op rechte lijnen liggen. Hieronder heb ik de boventoonreeksen van drie van mijn glazen (1, 2, 3) in vier diagrammen weergegeven (A, B, C, D). Diagram A is de simpele grafiek van frequentie versus rangnummer. Met de smartphone bleken 9 frequenties van de reeks meetbaar, wat een aardige prestatie is. French adviseert diagram B, waarin de boventonen van een glas op een rechte lijn moeten liggen. Een nadeel is dat de laagste boventonen nauwelijks onderscheidbaar zijn. Diagram C, waarin x_C=√x_B en y_C=√y_B, is in dat opzicht beter. Diagram D, de dubbellog-versie van C, is in dat opzicht duidelijk het best; en bovendien handiger voor het vergelijken van de boventoonreeksen van verschillende glazen, omdat daarin elk glas een rechte lijn met helling=1 moet opleveren. Bij glas 1 klopt dat voor alle boventonen, bij glas 2 wijken de lage tonen af, en bij glas 3 wijken de hoge tonen af. De afwijking van glas 2 blijkt binnen het model te passen bij een b-waarde van 2.8. Misschien heeft het te maken met de lage vorm van het glas, een coupe glas, met H<R. Merkwaardig is dat de grafieken 1 en 2 elkaar kruisen: glas 2 heeft vergeleken met 1 een hogere grondtoon, maar lagere boventonen. Binnenkort wil ik de boventoonreeks van meer glazen vergelijken.
 

ping-boventonen 5320 keer bekeken

 
In tegenstelling tot de ping-boventonenreeks is de zing-boventoonreeks harmonisch. Dat zou gepast hebben bij de eigentrillingen van een object met een golfsnelheid die voor alle frequenties gelijk is, zoals een snaar, maar dat is bij een wijnglas niet van toepassing.
 
De conclusie is dat de ping-boventonen van een wijnglas redelijk overeenstemmen met de eigentrillingen die French heeft berekend. Tot welke soort trilling zing-boventonen behoren is een raadsel.
 
 
1  2

[jkien]

Het verschil tussen ping- en zing-spectrum blijkt vaker opgemerkt te worden. Rossing [blz 184] beschrijft dat elke "stick-slip" sprong van de vinger de laagste eigentrilling (n=2) van het wijnglas aanslaat plus de harmonischen daarvan. Hij laat bovendien zien dat een vioolstrijkstok die over de rand van het glas strijkt hetzelfde spectrum kan opwekken. De strijkstok blijkt ook de mogelijkheid te hebben om de op een na laagste eigentrilling (n=3) aan te slaan plus de harmonischen daarvan. Het lukte me om dat te reproduceren (zie figuur). Rossings verklaring is nogal vaag. Het spectrumverschil wordt ook beschreven in een artikel van Terwagne over Tibetaanse klankschalen (blz 7). Ook hier een vage verklaring met duister jargon: the lowest mode is excited along with its harmonics, an effect known as a mode lock in
 

Spectrum4 5358 keer bekeken

Een strijkstok die dwars op de rand van het wijnglas strijkt kan dezelfde eigentrilling als de vinger (n=2, plus harmonischen) aanslaan, maar ook de eigentrilling n=3, plus harmonischen.

[jkien]

.

T.z.t. dit eens met olie proberen. Wenckebach, 1842

[jkien]

De formule van French voor de grondtoon, \( f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3Y}{5\rho}} \frac{a}{R^2} \sqrt{1+\frac{4}{3} \left (\frac{R}{H} \right)^{4}} \) , zie bericht 8, is rechttoe-rechtaan: als je de afmetingen a, R en H van het glas invult geeft hij de grondtoon f₀. Om de formule in de praktijk te testen bij verschillende afmetingen heb ik bij kleine en grote wijnglazen, drinkglazen, vazen, schalen en een viskom de verhouding van de (met de smartphone) gemeten grondtoon f en de berekende f₀ bepaald. Bij de berekening heb ik de schattingen van Y en ρ van French gebruikt: Y_glas = 60 GPa en ρ_glas = 3 g/cm³.
 

.

 
Voor het meeste glaswerk blijkt de verhouding \( \frac{f_{berekend}}{f_{gemeten}} \) tussen 1 en 0.5 te liggen. Dus f_berekend is gemiddeld te laag, maar de grootteorde is correct. In het diagram heb ik ook aardewerken bekers en vazen toegevoegd, omdat die materialen in dit diagram weinig van glaswerk blijken af te wijken.

In de formule is a/R² de factor met de grootste invloed op f₀. Het vat met de laagste grondtoon (71 Hz) was een stalen kom met een zeer kleine waarde van a/R², dankzij een dunne wand (0.4 mm) en een grote diameter (20 cm). Gebruiksvoorwerpen met zulke maten zullen zelden van glas gemaakt worden vanwege de breekbaarheid.
 
Een onzekere factor in de formule is de materiaaleigenschap √(Y/ρ), die zal afhangen van de glassoort. De schatting van French dat ρ_glas = 3 g/cm³ is redelijk voor dure wijnglazen van loodkristalglas. Op een van de wijnglazen staat "loodkristal 24%" vermeld, maar bij de andere glazen is de glassoort onbekend. Bij goedkope glazen zal het gewoon glas zijn met een dichtheid van 2.4 g/cm³. Voor glas ligt Y tussen 50 en 90 GPa. 
 

Young 5315 keer bekeken

'Ashby plot', bron: Univ. of Cambridge, link 
 
Je hoeft niet Y en ρ allebei te kennen, alleen √(Y/ρ) is nodig in de formule. Als je √(Y/ρ) gelijkstelt aan de geluidssnelheid v_ext dan blijkt uit tabellen dat die constante voor verschillende glassoorten niet heel veel verschilt: 4,7 km/s voor loodkristalglas (zwaar flintglas) en 5,3 km/s voor kroonglas. Ook de geluidssnelheden van keramiek en metalen verschillen niet heel veel met die van glas (v_ext van brons 3,5 km/s, baksteen 3,7 km/s, marmer 3,8 km/s, staal 5 km/s), zodat je bij bekers, kommen, schalen en vazen van glas, keramiek en metaal, van gelijke afmetingen (a, R, H), ongeveer dezelfde toonhoogte mag verwachten. Die verwachting klopt met de praktijk, zowel bij pingen als bij zingen.
 

Zouden de meetpunten meer op een rechte lijn komen te liggen als je een "betere" waarde voor a of R gebruikt? De rand van veel wijnglazen is iets verdikt, de "lip" van het glas. Ik heb de dikte van de glaswand gebruikt voor a, en niet de lipdikte, omdat de totale massa en energie van de trillende wand groter is dan die van de lip. Ik heb nog wel getest of de lipdikte invullen voor a een beter resultaat oplevert, maar dat bleek niet het geval.
De diameter van de bovenkant van het glas is bij bolle wijnglazen kleiner dan de diameter halverwege. Ik heb de diameter van de bovenkant gebruikt voor 2R, omdat de trillingsamplitude en -energie daar het grootst is. Ik heb getest of de diameter halverwege voor 2R een beter resultaat oplevert, maar dat bleek niet het geval.

Zouden de meetpunten meer op een rechte lijn komen te liggen als je een "betere" waarde van H gebruikt? French bespreekt in zijn artikel dat H, de hoogte van het vat, in de formule eigenlijk vervangen moet worden door H*, de effectieve hoogte. Deze H* kan bepaald worden door de resonantiefrequentie te meten bij variabele waterhoogte, zoals in bericht 8. Ik heb H* op die manier gemeten bij veel van de glazen, en H* blijkt meestal ongeveer even groot te zijn als H. In de formule zit H alleen in de factor √(1 + 4/3 (R/H)⁴). Bijna alle glazen zijn hoger dan breed, dus H>2R. Dan is die factor ongeveer 1 (maximaal 1.04), dus de factor kan verwaarloosd worden, en het vervangen van H door H* heeft geen effect.
 

French3 5319 keer bekeken

Diagram van f en (f₀/f)² versus d/H, dus bij variabele waterhoogte. Hoe voller het glas, des te lager de toon. Het blijkt dat het knikpunt van de oranje grafieken, dat is het snijpunt van de raaklijnen van links en van rechts, meestal dichtbij d/H=1/4 ligt. Dan is het nauwelijks de moeite waard om H* te bepalen, en H daarmee te vervangen.
 

Zoals gezegd in bericht #8 stelt Jundt dat de exponent 4 in \( \left( \frac{f_0}{f} \right)^2 = 1 + c \left( \frac{h}{H} \right)^{4} \) vervangen moet worden door de algemenere exponent n; waarbij n varieert tussen 3 en 7, afhankelijk van de vorm van het glas. Valt dat te controleren in mijn metingen? De exponent moet gelijk zijn aan de helling van de grafiek van \( \log \left(\left( \frac{f_0}{f} \right)^2 - 1 \right) \) versus \( \log \frac{h}{H} \) . 
 

French4 5318 keer bekeken

 
Er lijkt een tweedeling te zijn, de meeste glazen hebben n=4, in overeenstemming met French, en een klein aantal glazen heeft n=6. Maar twee van de vier glazen van de n=6 groep zijn cilindervormig, dus de eenvoudige regel van Jundt dat n bepaald wordt door de vorm van het glas, en dat voor cilinderglazen 3<n<5 geldt, gaat niet op.
 
 
Tenslotte de vergelijking van de boventoonreeksen van verschillende glazen, plus een glazen viskom, een metalen fietsbel, en een soepkom van aardewerk. De meeste reeksen liggen op een rechte lijn met helling 1, sommige met afwijkingen van de hoogste of de laagste boventonen.
 

ping-boventonen1 5333 keer bekeken