Afbeeldingsmatrix

[aapje1]

In R₃ is voor iedere p in R de matrix van de afbeelding A_p gegeven door

 

CodeCogsEqn 550 keer bekeken

 

Voor welke p is het A_p-beeld van R₃ een vlak? Stel een vectorvoorstelling op van dit vlak.
 
____
 
Hoe pak ik zo'n vraag aan? Ik heb nog nooit zo'n vraag gezien, dus zou iemand mij kunnen helpen?

[Safe]

Pas deze afbeelding toe op vector x, dwz (x,y,z)^T ...

[aapje1]

Dat heb ik gedaan en dan krijg ik een 3x1 vector in termen van x, y, z en p. Hoe beantwoord ik nu de vraag?

[mathfreak]

Bedenk dat je voor de vectorvoorstelling van een vlak altijd een steunvector en 2 richtingsvectoren nodig hebt. Kijk eens of je daarmee verder komt.

[aapje1]

Nee, ik denk het niet.. Er moet voor elke richtingsvector toch ook een parameter zijn? Ik snap het niet echt.

[Safe]

Dat heb ik gedaan en dan krijg ik een 3x1 vector in termen van x, y, z en p.

 
Ok!
 
Geef eens de volledige opgave ...

[EvilBro]

Een verhaaltje:
Ik heb een ruimte (\(\rr^3\)) en ik wil hierin graag punten beschrijven. Nou heb ik geen zin om dit zelf te doen, dus ik roep de hulp in van aapje1 Inc. De opdracht die ik geef is de volgende: ik wil graag alle punten beschrijven in \(\rr^3\) en ik wil graag dat je alle punten beschrijft met behulp van de volgende vector:

\(\vec{e}_x = \left(\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \end{array}\right)\)

De werknemer van aapje1 Inc. legt mij uit dat dat niet kan. Het is met de gegeven vector alleen mogelijk punten te bereiken die liggen op een lijn, want:

\(\vec{e}_x \cdot x = \left(\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \cdot x = \left(\begin{array}{r} x & 0 & 0 \end{array}\right)\)

Dat vind ik maar stom, maar als het dan echt niet kan, besluit ik dat aapje1 Inc. nog wel een vector mag gebruiken. De vector die ik aanlever is:

\(\vec{e}_y = \left(\begin{array}{r} 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\)

Wederom moet aapje1 Inc. mij teleurstellen. "Het is zeker een mooie vector" zo wordt mij veteld, "maar hiermee kan ik alleen de volgende punten bereiken":

\(\vec{e}_x \cdot x + \vec{e}_y \cdot y = \left(\begin{array}{r} x & 0 & 0 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{r} 0 & y & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} x & y & 0 \end{array}\right)\)

Ik zie in dat dat inderdaad niet de gehele ruimte is. Aapje1 Inc. geeft aan dat ik toch echt een derde vector nodig heb. Schoorvoetend geeft ik toe en lever de volgende vector aan:

\(\vec{e}_a = \left(\begin{array}{r} 1 & 3 & 0 \end{array}\right)\)

Aapje1 Inc. zegt "Dat werkt ook niet.":

\(\vec{e}_x \cdot x + \vec{e}_y \cdot y + \vec{e}_a \cdot a = \left(\begin{array}{r} x+a & y+3 a & 0 \end{array}\right)\)

"Doordat de derde vector een lineaire combinatie is van de eerdere vectoren zijn er geen nieuwe punten die we kunnen bereiken. Alle punten zullen dus in het vlak liggen dat door de eerste twee vectoren is opgespannen. Je hebt een derde vector nodig die geen lineaire combinatie is van de eerste twee. Gebruikelijk is de volgende set vectoren:"

\(\vec{e}_z = \left(\begin{array}{r} 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\)

"Nu kun je immers zeggen:"

\(\vec{e}_x \cdot x + \vec{e}_y \cdot y + \vec{e}_z \cdot z = \left(\begin{array}{r} x & y & z \end{array}\right)\)

Ik zie in dat je daarmee de gehele ruimte kunt bereiken. Tevreden meldt ik aapje1 Inc. dat ik nu ga spelen met mijn nieuwe ruimte en dat ik van plan ben de punten te transformeren met behulp van de volgende matrix:

\(A = \left( \begin{array}{rrr} p & -2 & 0 \\ 0 & p & -2 \\ -2 & 0 & p \end{array}\right)\)

aapje1 Inc. wijst mij erop dat ik dan wel moet oppassen. Er geldt immers:

\(A \cdot \left(\begin{array}{r} x & y & z \end{array}\right) = A \cdot (\vec{e}_x \cdot x + \vec{e}_y \cdot y + \vec{e}_z \cdot z) = A \cdot \vec{e}_x \cdot x + A \cdot \vec{e}_y \cdot y + A \cdot \vec{e}_z \cdot z = \left(\begin{array}{r} p & 0 & -2 \end{array}\right) \cdot x + \left(\begin{array}{r} -2 & p & 0 \end{array}\right) \cdot y + \left(\begin{array}{r} 0 & -2 & p \end{array}\right) \cdot z\)

Ik snap wat aapje1 Inc. bedoelt. Deze formule lijkt immers erg op de eerdere formule met de 'a'-vector er in. Als de derde vector een lineaire combinatie is van de eerste twee dan kan ik niet meer de hele ruimte beschrijven.
Welke waarde voor p moet ik dus niet kiezen (en jij voor je oorspronkelijke vraagstuk dus wel)?

[aapje1]

@Evilbro,
 
Dankjewel voor de fantastische uitleg! Nu heb ik 'm door. De vectoren zijn dus lineair afhankelijk als de determinant van A gelijk is aan 0 (wat er dus voor zorgt dat ik enkel een vlak, en geen hele ruimte kan beschrijven), wat geldt voor p=2. Het antwoord op mijn vraagstuk is dus p=2.
 
Hoe zou ik nu de vectorvoorstelling van het vlak moeten bepalen?

[EvilBro]

Zoals Mathfreak al zei, heb je voor de vectorvoorstelling van een vlak altijd een steunvector en 2 richtingsvectoren nodig. Je hebt de steunvector nodig om vanuit de oorsprong op het vlak te komen. Vervolgens heb je de twee (lineair onafhankelijke) richtingsvectoren nodig om over het vlak te bewegen (met 1 richtingsvector zou je alleen over een lijn kunnen bewegen)

Je kan beginnen met het bepalen van de steunvector. Je had al bepaald dat met p=2 alle getransformeerde punten in een vlak komen te liggen. Je kunt dus een willekeurig punt transformeren en het zal een punt op het vlak worden dat als steunpunt gebruikt kan worden. Sommige punten zijn misschien wat makkelijker dan andere (hint: bekijk (0,0,0) eens).

Met het steunpunt op zak heb je alleen nog twee richtingsvectoren nodig. Bekijk mijn vorige post nogmaals. Ik beweer dat je daarin al twee richtingsvectoren hebt staan die voldoen.