Een tijdje geleden wou ik mezelf uitdagen door de sinus en cosinus functies formeel in te voeren(dus puur analytisch zonder gebruik van geometrie) en van daaruit de bekende eigenschappen afleiden, en daarbij was ik al aardig ver gekomen maar een paar stekende problemen blijven staan. Het probleem is dat de standaardbewijzen daarvoor niet werken, aangezien die binnen deze context leiden tot cirkelredeneringen.
Mijn aanpak is als volgt:
Ik definier de sinus als de unieke functie die aan de volgende 3 voorwaarden voldoet:
\( $\sin(\int_{-1}^{x} \frac{1}{1-t^2} dt) = \sqrt{1-x^2} \forall x \in [0,1]\)
\( \sin(x) = sin(-x) \forall x \in [-\pi,\pi]\)
\( \sin(x+2k\pi) = \sin(x) \forall k \in \mathbb{Z}\)
Deze definitie is volledig equivalent aan de definitie vanuit de eenheidscirkel(die integraal is gewoon de booglengte van de halve cirkel van -1 tot x en dus ook de hoek in radialen). We definieren pi als de waarde van die integraal in het punt x=1 wat 100% equivalent is met de geometrische definitie van pi. Verder definieren we de cos via cos(x) = sin(x+pi/2).
Nou heb ik met deze definities bewezen dat sin'(x) = sin(x), cos(pi/2) = 0 en sin(pi/4) = cos(pi/4) = Sqrt(2)/2. Maar het is me nog niet gelukt om te bewijzen dat cos(pi/3) = Sqrt(3)/2. Ik wou dit aanpakken door aan te tonen dat de bovenstaande integraal gelijk is aan pi/3 in het punt x = 1/2 en dan natuurlijk zonder gebruik te maken van het feit dat sinh(1/2) = pi/3 want dat zou simpelweg een cirkelredenering zijn(we gebruiken een resultaat dat we willen bewijzen in het bewijs). Dus het zal op een andere manier moeten, maar hoe?
Iemand suggesties?
. 
