Verschillend optellen van oneindige reeksen

[TheAmassama]

Stel we hebben een oneindige reeks S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...
Je kunt hiermee S + S uitrekenen door (1 + 1) + (2 + 2) + (3 + 3) + ... en dit wordt natuurlijk 2S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... ergo, alle even nummers.
Maar als je de haakjes een beetje verschuift krijg je 1 + (1 + 2) + (2 + 3) + ... = 1 + 3 + 5 + 7 + ... , alle oneven nummers.
Aangezien de eerste 2S anders is dan de tweede 2S, krijg je natuurlijk rare vergelijkingen (bijv. 2S + 2S = S -> 4 = 1).
 
Ik heb in meerdere video's van Numberphile (vast wel bekend hier) gezien dat het opschuiven van de getallen die je optelt gewoon mag in dit soort oneindige reeksen. Maar er komen uiteindelijk wel verkeerde gelijkheden uit. Waar zit de fout? Of is dit gewoon een causaliteit van oneindige reeksen?

[Th.B]

Graag een link naar die video's alsjeblieft. Ik ben nogal skeptisch over dat soort filmpjes.
Bij oneindige reeksen mag je termen permuteren e.d. mits de rij absoluut convergeert. Hier is dat niet het geval.

[Emveedee]

Ik gok dat het gaat over dit filmpje. Ik ben wel eens benieuwd hoe dit soort sommen precies werkt.

[Safe]

Stel we hebben een oneindige reeks S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...
Je kunt hiermee S + S uitrekenen door (1 + 1) + (2 + 2) + (3 + 3) + ... en dit wordt natuurlijk 2S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... ergo, alle even nummers.
Maar als je de haakjes een beetje verschuift krijg je 1 + (1 + 2) + (2 + 3) + ... = 1 + 3 + 5 + 7 + ... , alle oneven nummers.
Aangezien de eerste 2S anders is dan de tweede 2S, krijg je natuurlijk rare vergelijkingen (bijv. 2S + 2S = S -> 4 = 1).

 
 2S + 2S = S -> 4 = 1
 
Dit mag niet want je deelt door oneindig (of ook S is geen 'gewoon' getal) en voor werken met oneindig zijn er rekenregels ...

[Th.B]

Er wordt in dat filmpje op een intuïtieve manier aannemelijk gemaakt dat het antwoord -1/12 is. Dat mensen dit zien als een bewijs is echt enorm naïef. Bijvoorbeeld, wat nou als ik die S₂ uit de video op een net wat andere manier bij zichzelf optel:
 
2 S₂ = (1 - 2 + 3 - 4 + ....) + (1 - 2 + 3...) en nu ga ik de 1 bij de 3 optellen, de -2 bij de -4 etc...
2 S₂ = (1-2) + (3+1) - (4+2) ... = -1 + (- 4 + 6 - 8 +...) = -3 + 2 (1 - 2 + 3 ...) = -3 + 2 S₂.
 
Da's toch echt onzin als je beweert dat S₂ gelijk is aan -1/12 (of elk ander eindig getal). Waarom mag dit dan niet? Daar wordt geen antwoord op gegeven en als je de literatuur in duikt zie je dat het antwoord vele malen complexer is dan wat ze hier doen lijken.

[TheAmassama]

Graag een link naar die video's alsjeblieft. Ik ben nogal skeptisch over dat soort filmpjes.
Bij oneindige reeksen mag je termen permuteren e.d. mits de rij absoluut convergeert. Hier is dat niet het geval.

Aangenomen dat je alleen mag permuteren bij convergerende rijen, dan zijn er alsnog voorbeelden te vinden die op rare dingen uitkomen (zoals Th.B hieronder ook laat zien). 
 

Ik gok dat het gaat over dit filmpje. Ik ben wel eens benieuwd hoe dit soort sommen precies werkt.

Ja dat filmpje idd. Er zijn nog wel wat filmpjes van maar ik weet zo uit mijn hoofd niet meer welke.
 

 
 2S + 2S = S -> 4 = 1
 
Dit mag niet want je deelt door oneindig (of ook S is geen 'gewoon' getal) en voor werken met oneindig zijn er rekenregels ...

Eens, dat mag idd niet, fout van mij. Maar wat wel mag (denk ik) is de even rij van de oneven rij aftrekken. Dan krijg je de S₂ uit de video, die gelijk is aan 1/4. Terwijl 2S - 2S = 0.

[Safe]

Maar (oneindig - oneindig) kan van alles zijn (dus ook 0, maar ook 10 of -10) en is daarom niet gedefinieerd ...
 
Ga de rekenregels na!

[JorisL]

De methode in het filmpje mag niet zomaar toegepast worden. (en men kan argumenten geven waarom deze weergave fout is)
Ikzelf ben er niet toe gequalificeerd om deze argumenten te analyseren.
 
Zie bijvoorbeeld http://math.stackexchange.com/questions/39802/why-does-123-cdots-frac112
Daarin staan verschillende "bewijzen" maar meestal wordt er iets minder aandacht aan mogelijke fouten besteed.
Bekijk dus zeker de reacties bij  de posts!